Ein Satz über offene Riemannsche Flächen. (Q2589663)

Das Typenproblem einer einfach zusammenhängenden Riemannschen Fläche (R. Fl.) und das Problem der Kapazität einer Punktmenge sind Spezialfälle des Problemes, zu entscheiden, ob eine offene Fläche von beliebigem Geschlecht einen ``Nullrand'' hat. Verf. baut die Fläche aus einer unendlichen Zahl von einfach zusammenhängenden berandeten Flächenstücken auf, die alle je auf einen Einheitskreis \(K_\nu\) abgebildet sind; diese \(K_\nu\) können direkt zur Definition der R. Fl. verwendet werden, wenn nur die Nachbarrelationen gegeben sind. Man schöpfe nun die R. Fl. durch eine unendliche Folge ineinander geschachtelter Gebiete \(F_n\) aus. Das harmonische Maß \[ w(\varGamma_n, P, F_n - F_0), \] gemessen im Punkt \(P\), besitzt einen Grenzwert. Wenn dieser \(= 0\) ist, so sagt man, die Fläche habe einen Nullrand. Der Hauptsatz, der bewiesen wird, lautet: Es sei \(G_n\) \((n = 1, 2, \dots)\) eine Folge von Mengen der Kreise \(K_\nu\), so, daß jedes \(G_n\) einen vorgegebenen Punkt \(O\) vom Flächenrand trennt, und daß jeder Punkt der Fläche höchstens in \(N\) verschiedenen Mengen \(G_n\) enthalten ist. Ist \(l_n\) die Anzahl der in \(G_n\) enthaltenen Kreise, und divergiert die Reihe \(\sum 1/l_n\), so hat der Flächenrand \(\varGamma\) das Maß Null. Der Beweis wird durch eine Anwendung des Bieberbachschen Flächensatzes und der Schwarzschen Ungleichung erbracht. In den Anwendungen wird u. a. das Kriterium von Wittich für den parabolischen Typus bewiesen, ferner werden Beziehungen zur Theorie der Abelschen Integrale auf Flächen unendlichen Geschlechts und zu allgemeinen automorphen Funktionen beleuchtet.