On Kakutani's theory of the type of Riemann surfaces. (Q2589665)

Die Methoden von Kakutani und Teichmüller aus dem Gebiet der quasikonformen Abbildungen werden auf das Typenproblem einfach zusammenhängender Riemannscher Flächen angewendet. Stellt man die Riemannsche Fläche durch einen Streckenkomplex dar, so entsprechen den Eckpunkten jeweils Blätter. Ein Punkt heißt unverzweigt oder verzweigt, wenn nach außen nur ein Zweig, bzw. mehrere Zweige ausgehen. Es sei nun \(\mu (n)\) die Anzahl der Eckpunkte der \(n\)-ten Generation, \(\mu_1(n)\) die Anzahl der unverzweigten, \(\mu_2(n)\) diejenige der verzweigten unter ihnen, so daß gilt \(\mu(n) = \mu_1(n) + \mu_2(n)\). Dann ist (Theorem 4) die Fläche hyperbolisch, falls die Reihe \(\sum \dfrac{n(\bar\mu(n)^2 + 1}{\mu(n)}\) konvergiert, wo \(\bar\mu (n)\) die kleinere der beiden Zahlen \(\mu_1(n)\) und \(\mu_2(n)\) ist. Verf. beweist diesen Satz durch gehörige Ausnutzung der quasikonformen Abbildung, wobei nur die Deformation beschränkt bleiben muß. Falls eine so entstehende Deformationsgröße, deren Definition hier nicht gegeben werden kann, beschränkt ist, so kann \(\bar\mu(n)\) in der obige Formel vernachlässigt werden, und wir haben es mit dem ``fast homogenen'' Fall zu tun. Hier gelingen Verf. Verallgemeinerungen der Theoreme von Teichmüller und Kakutani, welche die hyperbolischen und parabolischen Fälle zu unterscheiden gestatten. Zum Schluß werden Flächen mit algebraischen Verzweigungspunkten betrachtet, und für eine besondere Klasse wird ein notwendiges und hinreichendes Kriterium für die beiden Fälle angegeben, wobei Wittichs Reihe ausschlaggebend ist.