A class of hypergeometric transforms. (Q2589725)

\textit{C. Fox} (J. London math. Soc. 14 (1939), 278-281; F. d. M. 65, 1309 (JFM 65.1309.*)) hat zwei Klassen von Funktionaltransformationen \(T_n\) betrachtet, die die Eigenschaft haben, daß \(T_0\) die Transformation \(Rf (x) = \dfrac 1x f\left(\dfrac 1x\right)\) ist und der Grenzübergang \(n \to \infty\) die Fouriersche sin- bzw. cos-Transformation (Spezialfälle der Hankel-Transformation) liefert. Verf. stellt diese Transformationen etwas verallgemeinert in der Form \newline \(T_\alpha f = \left(I_{\tfrac{\nu}{2}, \alpha}^+ \right)^{-1} RI_{\tfrac{\nu}{2}, \alpha}^+ f = F(x)\) dar mit \[ I_{\eta, \alpha}^+ f(x) = \frac{x^{-\eta -\alpha}}{\varGamma(\alpha)} \int\limits_0^x (x - y)^{\alpha - 1} y^\eta f(y)\, dy \] (Integration nichtganzer Ordnung) und zeigt, daß \(\lim\limits_{\alpha\to\infty} \dfrac 1\alpha F\left(\dfrac{x} {\alpha^2}\right) = \mathfrak H_\nu f\) (Hankel-Transformation) ist. \(\nu = \pm \dfrac 12\) sind die Fälle von Fox. \ \(T_\alpha\) kann auch in der Gestalt \(\mathfrak H_\nu \mathfrak H_{\nu + 2\alpha} R\) dargestellt werden.