I fondamenti della geometria numerativa. (Q2589866)

Mit den Fragen der abzählenden Geometrie hat sich Verf. schon viel beschäftigt; jetzt, im vierzigsten Jahre seiner wissenschaftlichen Tätigkeit, wählt er eben die abzählende Geometrie als Gegenstand der vorliegenden wichtigen Abhandlung, in der die Grundlagen dieses Zweiges der Geometrie vom Standpunkt der höchsten Theorien der algebraischen Geometrie aus neu bearbeitet werden. Die Theorie der Äquivalenzsysteme auf einer algebraischen Mannigfaltigkeit, die Einführung und die systematische Verwendung des Begriffs der virtuellen Mannigfaltigkeiten, die Entwicklung der Basistheorie und der allgemeinen Theorie der algebraischen Korrespondenzen, Theorien, die dem Verf. zu verdanken sind, und denen die klassische abzählende Geometrie viele Anregungen gegeben hat, gestatten in der Tat die abzählenden Fragen der Geometrie von allgemeineren Gesichtspunkten aus zu betrachten und in ihren funktionellen und topologischen Verhältnissen immer mehr zu vertiefen. Man kann jetzt etwas endgültiges über die Grundlagen der abzählenden Methoden aussprechen; andrerseits bekommen jene Methoden, aus den obengenannten neuen Theorien, Einfachheit, Stärke, Klarheit und vollständige Allgemeinheit. Gleichzeitig wird auch der Wert der italienischen algebraischen Geometrie nochmals ins Licht gebracht. Zum besseren Verständnis der ganzen Abhandlung werden zunächst einige allgemeine Begriffe wiederholt: Die Multiplizität eines Schnittpunktes von zwei Mannigfaltigkeiten \(W_k\), \(V_{r-k}\), die auf einer \(M_r\) liegen; die Begriffe der virtuellen Mannigfaltigkeiten und insbesondere der Nullmannigfaltigkeiten der verschiedenen Dimensionen, die auf \(M_r\) liegen; die Erklärung des Schnittsymbols \((V, W)\) einer \(V_h\) und einer \(W_k\) auf \(M_r\); die Grundbegriffe der Basistheorie. Der erste Schritt einer organischen Darstellung der abzählenden Geometrie ist die genaue Erklärung einer \textit{algebraischen Bedingung}, die gewissen gegebenen algebraischen Gebilden auferlegt wird. Diese Gebilde können immer durch die Punkte \(x\) einer algebraischen irreduziblen \(M_r\) eines Raumes \(S_d\) eineindeutig abgebildet werden; die betrachtete Bedingung wird dann durch ein System algebraischer Gleichungen ausgedrückt, die die Koordinaten von \(x\) enthalten, und die auch von einer gewissen Anzahl von Parametern abhängen können; die Parameter erfüllen ihrerseits, im allgemeinen, ein System algebraischer Gleichungen. Alles zusammengefaßt, hat man folgende Gleichungen: \[ f_i(x)=0\quad (i=1,\,2,\,\ldots);\quad \varphi_j(y;x) = 0\quad (j =1,\,2,\,\ldots);\quad \psi_h(y) = 0\quad (h =1,\,2,\,\ldots); \] von denen die ersten die Mannigfaltigkeit \(M_r\) darstellen; die letzten können als Gleichungen einer gewissen algebraischen Mannigfaltigkeit \(N_s\) angesehen werden, die vom Punkte \(y\) erzeugt wird; die zweiten drücken die Bedingung aus, die vom Punkte \(y\) abhängt. Jede algebraische Bedingung, die den betrachteten Gebilden auferlegt wird, geht auf diese Weise in eine Korrespondenz \(T\) zwischen den Punkten \(x\) von \(M_r\) und den Punkten \(y\) von \(N_s\) über; mit anderen Worten kann sie so ausgesprochen werden, daß \(x\) einem gegebenen \(y\) in der Korrespondenz \(T\) entsprechen muß. Es ist nützlich, nicht aber wesentlich, vorauszusetzen, daß \(M_r\), \(N_s\) frei von mehrfachen Punkten sind. Die Korrespondenz \(T\) kann auch als eine Mannigfaltigkeit auf dem topologischen Produkt \(M \times N\) angesehen werden. Sind \(M_r\) und \(T\) irreduzibel, so sagt man, daß die Bedingung \textit{irreduzibel} ist. Reduziert sich \(N_s\) auf einen einzigen Punkt \(y\), so spricht man von einer \textit{festen} Bedingung, sonst ist die Bedingung \textit{veränderlich}. Wenn die Punkte \(x\), die einem allgemeinen \(y\) entsprechen, eine \(V_{r-k}\) erfüllen, so sagt man, daß die Bedingung die \textit{Dimension} \(k\) hat. Die Dimension von \(T\) ist \(r + s - k\). Die obige \(V_{r-k}\) kann in Teile der gleichen Dimension zerfallen, auch bei einer irreduziblen \(T\) und bei einem \textit{allgemeinen} \(y\); für \textit{besondere} \(y\) kann \(V_{r-k}\) in Teile zerfallen, die eine Dimension \(>r - k\) haben. Wird \(T\) auf \(M \times N\) betrachtet, so sieht man wie, allgemeiner, auch \textit{virtuelle reine Bedingungen} eingeführt werden können; in diesem Falle ist \(T\) eine algebraische Summe von Teilen \textit{derselben} Dimension. Aus diesen allgemeinen Begriffen folgen ohne weiteres die Prinzipien der \textit{Konstantenabzählung} und der \textit{Erhaltung der Anzahl}. Das erste besagt, daß folgende drei Bedingungen dieselbe Dimension haben: \(x\) muß einem gegebenen \(y\) in \(T\) entsprechen (\textit{gegebene Bedingung}); \(y\) muß einem gegebenen \(x\) in \(T\) entsprechen (\textit{konjugierte Bedingung}); das Paar \((x, y)\) muß auf \(T\) liegen (\textit{erweiterte Bedingung}). Diese allgemeine Art zu reden ist den üblichen Redeweisen äquivalent. Das zweite besagt: Eine kontinuierlich veränderliche, effektive oder virtuelle, \textit{reine} Bedingung bleibt mit sich selbst algebraisch (und arithmetisch) äquivalent, bis sie vollständig oder teilweise unbestimmt wird; wenn aber, im zweiten Falle, die Annäherung von \(y\) an die besondere Lage \(y_0\), wo die Bedingung als unbestimmt erscheint, auf einem analytischen Zweig mit dem Ursprung \(y_0\) erfolgt, so ist die Grenzlage der betrachteten Bedingung der allgemeinen Lage wieder algebraisch (und arithmetisch) äquivalent. Daraus schließt man sofort die übliche Aussage des Schubertschen Prinzips. Die Begründung des abzählenden Kalküls bietet jetzt keine Schwierigkeiten mehr. Zwei Bedingungen \(c\), \(c'\) der Dimension \(k\) sind \textit{gleich}, wenn die \(V_{r-k}\), \(V^\prime_{r-k}\), die bei \(c\) und \(c'\) einem allgemeinen \(y\) entsprechen, arithmetisch äquivalent sind. Die \textit{Summe} \(c + c'\) bedeutet, daß \(x\) auf \(V + V'\) oder auf einer der \(V + V'\) arithmetisch äquivalenten Mannigfaltigkeit liegen muß. Das Produkt \(cc'\) von zwei reinen Bedingungen der Dimensionen \(k\), \(k'\) bedeutet, daß sie gleichzeitig erfüllt sein müssen; wird der Schnitt \((V, V')\) im virtuellen Sinne betrachtet, so ist immer das Produkt \(cc'\) eine reine Bedingung der Dimension \(k + k'\). Die Frage der \textit{charakteristischen Bedingungen} für die \textit{reinen} Bedingungen einer gegebenen Dimension \(k\) deckt sich mit der Konstruktion der Basis aller reinen \(V_{r-k}\), die auf \(M_r\) liegen; und diese ist ihrerseits mit der Aufsuchung eines Bezoutschen Satzes auf \(M_r\) oder eines allgemeinen Korrespondenzprinzips auf \(M_r\) gleichbedeutend. Der Existenzsatz der Charakteristiken wird so mit Hilfe der Basistheorie begründet. Als Beispiel und Anwendung wird die Bestimmung der Charakteristiken für die algebraischen reinen Bedingungen ausgewählt, die den Unterräumen \(S_k\) eines Raumes \(S_r\) auferlegt werden können. Sehr wichtig und viel schwieriger ist das Charakteristikenproblem, wenn auf \(M_r\) eine \textit{vollständige Ausartungsmannigfaltigkeit} \(E\) gegeben ist; d.~h. wenn die Punkte von \(E\) als Bilder ausgearteter Lösungen erscheinen und daher auszuschließen sind; nur die Punkte von \(M_r - E\) sind jetzt als Lösungen zu betrachten. Es ist wohl möglich, daß auf \(E\) eine ähnliche vollständige Ausartungsmannigfaltigkeit höherer Ordnung \(G\) existiert, auf \(G\) eine andere \(H\); usw. Hier bietet sich zunächst das \textit{Prinzip von Plücker und Clebsch} in folgender sehr allgemeinen Form: Wenn auf \(M_r\) das Produkt gewisser gegebenen Bedingungen die Dimension \(r\) hat und zu lauter ausgearteten Lösungen \textit{im allgemeinen} führt, und wenn in einem besonderen Falle eine nicht ausgeartete Lösung entsteht, so kann diese nicht isoliert sein. Die Lösung des Charakteristikenproblems in diesem allgemeineren Falle verlangt eine Verfeinerung und Vervollständigung der Basistheorie. Die \(V_{r-k}\) von \(M_r\), die den verschiedenen Punkten \(y\) entsprechen, können sich jetzt, in der Tat, in bezug auf die Ausartungsmannigfaltigkeiten besonders verhalten; z.~B. können sie mit \(E\) eine Mannigfaltigkeit gemein haben, die eine höhere Dimension hat, als es regelmäßig wäre. Es handelt sich darum, die Existenz der Basis festzustellen für alle \(V_{r-k}\), die sich in bezug auf die Ausartungsmannigfaltigkeiten in einer gegebenen besonderen Art verhalten. Man gelangt so zum \textit{allgemeinen Existenzsatz der Charakteristiken} auf \(M_r - E\). Es ergibt sich, daß das Charakteristikenproblem \textit{relativ} ist; es hängt von den Ausartungsmannigfaltigkeiten und vom Verhalten aller \(V_{r-k}\) in bezug auf sie ab; so könnte man auch die Anzahl der Charakteristiken beliebig wachsen lassen, indem man jenem Verhalten immer speziellere Formen erteilt. Die so ausgebaute allgemeine Theorie wird schließlich auf das Charakteristikenproblem für die Kegelschnitte einer Ebene angewendet. Man kann zunächst jene Kegelschnitte nur als Örter von Punkten betrachten (oder dual). Als \(M_r\) kann man dann einen Raum \(S_5\) wählen; im \(S_5\) gibt es eine Ausartungs-\(E_4^3\), deren Punkte die Geradenpaare darstellen; auf \(E\) gibt es noch eine Veronesesche Fläche \(G\), deren Punkte die Doppelgeraden darstellen. Die Basis der virtuellen reinen \(V_4\) im \(S_5\) ist eine Hyperebene; die einfachen virtuellen reinen Bedingungen haben so eine einzige Charakteristik, z.~B. die Bedingung \(\mu\) dafür, daß ein Kegelschnitt durch einen gegebenen Punkt hindurchgeht. Die Basis aber aller durch \(G\) hindurchgehenden virtuellen reinen \(V_4\) besteht aus einer Hyperebene und einer Quadrik durch \(G\); wenn man also unter den einfachen Bedingungen auch diejenigen betrachten will, die von allen Doppelgeraden erfüllt werden, so muß man außer \(\mu\) noch eine zweite Charakteristik einführen, z.~B. die Bedingung \(\nu\) dafür, daß ein Kegelschnitt eine gegebene Gerade berührt. Ähnlich findet man die Charakteristiken der vierfachen Bedingungen. Man könnte sich auch auf einen anderen Standpunkt stellen. Man kann nämlich die sogenannten \textit{vollständigen Kegelschnitte} betrachten, die gleichzeitig Örter von Punkten und Enveloppen von Geraden sind; sie werden im \(S_5\) von den Punkt-Hyperebene-Paaren dargestellt, die in bezug auf \(E_4^3\) polar sind. Es gibt dann, wie bekannt, drei verschiedene Ausartungen: a) \textit{ausgeartete Kegelschnitte} 1. \textit{Art}; sie bestehen aus zwei Geraden und dem Doppelbüschel, das die beiden Geraden enthält; sie werden im \(S_5\) von den einfachen Punkten von \(E\) und den betreffenden Berührungshyperebenen dargestellt; b) \textit{ausgeartete Kegelschnitte} 2. \textit{Art}; sie bestehen aus zwei Strahlbüscheln und der Doppelgerade, die beiden Büscheln angehört; sie werden von den Punkten von \(G\) mit den betreffenden Berührungshyperebenen von \(G\) selbst dargestellt; c) \textit{ausgeartete Kegelschnitte} 3. \textit{Art}; sie bestehen aus einem Doppelpunkt und einer Doppelgerade in vereinigter Lage und werden von den Punkten von \(G\) mit den betreffenden singulären Berührungshyperebenen von \(G\) selbst dargestellt. Als Grund-\(M_5\) kann man jetzt auch eine \(M_5\) wählen, die auf der Segreschen \(U_{10}^{252}\) eines Raumes \(S_{35}\) liegt, die die Punkt-Hyperebene-Paare des Raumes \(S_5\) darstellt; die Ausartungsmannigfaltigkeiten sind drei: \(E'\), \(F'\), \(H'\). An den Charakteristiken der einfachen und der vierfachen Bedingungen, die sich in bezug auf \(E'\), \(F'\), \(H'\) allgemein verhalten, gibt es nichts zu ändern; will man aber auch jene einfachen reinen Bedingungen betrachten, die von allen ausgearteten Kegelschnitten 3. Art erfüllt werden, so muß man den vorigen Charakteristiken \(\mu\), \(\nu\) noch eine dritte hinzufügen, z.~B. die Bedingung \(\delta\) dafür, daß ein Kegelschnitt ausgeartet 1. Art sei. Im Gebiete der vierfachen Bedingungen muß man als dritte Charakteristik die Bedingung dafür betrachten, daß ein irreduzibler Kegelschnitt einem Büschel mit vier zusammenfallenden Basispunkten angehöre. Es empfiehlt sich, deutlich hervorzuheben, daß diese Ergänzungen notwendig sind, wenn man den symbolischen Kalkül auch in denjenigen Fällen anwenden will, wo vierpunktige Berührungsbedingungen gegeben sind. Ähnliche Betrachtungen gelten für die Bedingungen der Dimensionen 2 und 3. Die obengenannte Mannigfaltigkeit \(H'\) ist nichts anderes als diejenige der \(\infty^3\) Elemente 1. Ordnung einer Ebene. Verf. ergreift die Gelegenheit, sie zu studieren; er findet die Basis der Flächen und der Kurven, die auf \(H'\) liegen; er findet auch das normale singularitätenfreie Bild niedrigster Ordnung von \(H'\): es ist die Schnitt-\(V_3^6\) mit einer allgemeinen Hyperebene, der Segreschen \(W^6_4\), die die Punkt-Gerade-Paare einer Ebene darstellt. Die Abhandlung ist reich an geschichtlichen Bemerkungen und Literaturangaben.