Sur le calcul des invariants différentiels euclidiens d'une surface. (Q2589874)

Bezieht man eine analytische Fläche auf ein rechtwinkliges Koordinatensystem, dessen Ursprung \(M\) in einem Flächenpunkt liegt und dessen \(z\)-Achse mit der Flächennormalen übereinstimmt, so lautet die Entwicklung der Flächengleichung \(z = f(x, y) = f_2(x, y) + f_3(x, y) +\cdots\), wobei die \(f_n(x, y)\) homogene Polynome \(n\)-ten Grades sind. Bringt man durch eine Drehung um die \(z\)-Achse noch das Polynom niedrigsten Grades auf eine Normalform, so liegt in dem Koeffizientensystem der \(f_n\) ein vollständiges Invariantensystem vor. Verf. bestimmt diese Polynome und damit die Invarianten aus der Parameterdarstellung der Fläche. Er gibt dazu zwei Methoden an. Die eine beruht auf der Untersuchung der Bewegung eines Flächenpunktes, wobei die Projektion auf die Tangentialebene eine Gerade durch \(M\) ist, die gleichförmig durchlaufen wird. Die andere benutzt die Cartansche Methode des bewegten Dreibeins. Es werden homogene Polynome \(\varPhi_n(U, V)\) erhalten. Die gleichzeitige Reduktion des ``Linienelementes'' \(\varPsi = EU^2 + 2FUV + GV^2\) und der Form \(2\varPhi_2\) auf die Normalform \(\varPsi = X^2 + Y^2\), \(2\varPhi_2 = aX^2 + bY^2\) liefert die Substitution \(U,\, V \to X,\, Y\) und damit in den Koeffizienten der Formen \(\varPhi_n(X, Y)\) die gesuchten Invarianten. Die Ausdehnung dieser Methode auf \(n\)-dimensionale Flächen der Klasse eins und Bemerkungen über die Bedingungen, denen eine Fläche der Klasse eins genügen muß, beschließen die Arbeit.