Ein Satz von Herglotz zur Geometrie Riemanns. (Q2589881)

Versteht man unter Ebene in einem dreidimensionalen Riemannschen Raum \(R_3\) eine Fläche mit der kennzeichnenden Eigenschaft, daß alle sie berührenden Geodätischen des \(R_3\) ganz in ihr liegen, so gilt nach Herglotz: Liegen irgend zwei Geodätische durch einen festen Punkt stets in einer solchen Ebene, dann gestattet der \(R_3\) die dreigliedrige Gruppe der Drehungen um diesen Punkt. Vorbereitend wird bewiesen, daß \(\dfrac{\partial g_{\alpha\beta}}{\partial x^0}= 0\) für \(x^0 = 0\) notwendig und hinreichend ist, damit die Fläche \(x^0 = 0\) im \(R_3\) mit dem Linienelement \[ ds^2= g_{00} (dx^0)^2 + g_{\alpha\beta}dx^\alpha dx^\beta \quad (\alpha,\, \beta = 1,\,2) \] eben wird. Geometrisch gedeutet sind alle Normalvektoren einer solchen Ebene im Levi-Civitaschen Sinne parallel. Aus Schlüssen über die Gestalt des Linienelements ergibt sich dann in einfacher Weise der Beweis des Satzes. Ergänzend folgt eine Verallgemeinerung auf den \(R_n\).