Über die isoperimetrische Aufgabe im \(n\)-dimensionalen Raum konstanter negativer Krümmung. I. Die isoperimetrischen Ungleichungen in der hyperbolischen Ebene und für Rotationskörper im \(n\)-dimensionalen hyperbolischen Raum. (Q2589888)

Vgl. Verf., Math. Z. 44 (1939), 699-788 (F. d. M. 65, 833 (JFM 65.0833.*)). Die Aufgabe, einem Streifen zwischen zwei Abstandskurven einer Geraden im Abstand \[ \pm R = \pm \log \mathop{\text{tg}} \left(\frac\pi4 - \frac\alpha2\right), \quad (\alpha > 0) \] eine einfach geschlossene Kurve vom vorgegebenen Umfang \(L \geqq 4R\) einzubeschreiben, für die die umschlossene Oberfläche \(J\) möglichst groß ausfällt, wird wiederum -unter Beschränkung auf solche Vergleichskurven, die stückweise stetig differenzierbar sind -- gelöst von Extremalen vom Kreisrechteck-, Kreisoder Linsentypus; stellen \(\overline L (\alpha)\) und \(\overline J (\alpha)\) Umfang und Oberfläche des Kreises vom Radius \(R\) dar, so tritt der erste Fall ein für \(L > \overline L(\alpha)\), der zweite für \(L = \overline L(\alpha)\), der dritte für \(L < \overline L(\alpha)\). Im ersten Fall ist das ``Rechteck'' ein senkrechter Ausschnitt des Streifens; diesem sind zwei Halbkreise vom Radius \(R\) aufgesetzt. Im letzten sind die kongruenten ``Kreisbögen'', die \(g\) senkrecht schneiden und sich auf den Streifenrändern treffen, je nach dem Wert von \(L\) Kreise, Orizykeln oder Abstandskurven. Es gilt die Ungleichung \[ J - L \sin \alpha\leqq\overline J(\alpha) - \overline L (\alpha) \sin \alpha, \tag{1} \] in der das Gleichheitszeichen nur für \(L \geqq \overline L(\alpha)\) von der obigen Extremalen erreicht wird. Setzt man \(L = \overline L(\alpha')\), \(J =\overline J (\alpha'')\), wodurch \(\alpha'\) und \(\alpha''\) eindeutig bestimmt sind, so folgt \(\cos\alpha''\geqq\dfrac{\cos\alpha'}{\cos(\alpha-\alpha')}\) und daraus sofort die isoperimetrische Ungleichung \(\alpha''\leqq\alpha'\), wobei das Gleichheitszeichen nur beim Kreis vorkommt. (1) wird in der Poincaré-Ebene mit Linienelement \(dS^2 = \dfrac{dx^2+dy^2}{x^2}\) hergeleitet, für den Streifen kann dann der Winkelraum zwischen den Geraden \(y =\pm x \sin \alpha\) genommen werden. Durch Einführung von Polarkoordinaten wird aus diesem ein Parallelstreifen, und man erhält ein ebenes Variationsproblem, das nach den Methoden der zitierten Arbeit behandelt werden kann (Behandlung einer viel allgemeineren Klasse derartiger Variationsprobleme in der späteren Arbeit des Verf.: Math. Z. 47 (1942), 489-642; F. d. M. 68). Im \(n\)-dimensionalen hyperbolischen Raum ist der von einer Drehfläche der Oberfläche \(L\), die einem Schlauch vom Radius \(R\) um die Drehachse einbeschrieben ist, umschlossene Inhalt \(J\) maximal, wenn die Meridiankurve die im zweidimensionalen Fall angegebene Extremalgestalt hat. Die Meridiankurve soll für alle Vergleichsflächen stückweise stetig differenzierbar sein und die Drehachse genau zweimal treffen. Sind \(\overline J(\alpha)\) und \(\overline L(\alpha)\) hier Inhalt und Oberfläche der Kugel vom Radius \(R\), so gilt \[ J - L \frac{\sin\alpha}{n-1} \leqq \overline J(\alpha)- \overline L (\alpha) \frac{\sin\alpha}{n-1}. \] Hieraus ergibt sich genau so die Lösung des isoperimetrischen Problems, wenn zum Vergleich nur Drehflächen der angegebenen Art zugelassen werden.