Die isoperimetrischen Ungleichungen auf der gewöhnlichen Kugel und für Rotationskörper im \(n\)-dimensionalen sphärischen Raum. (Q2589889)

Wird die Oberfläche der Kugel vom Radius \(R\) in der \(n\)-dimensionalen sphärischen, euklidischen oder hyperbolischen Geometrie durch \(\overline L(R)\) dargestellt, ihr Inhalt durch \(\overline J (R)\), so ist die Kurve \(x =\overline L(R)\), \(y =\overline J (R)\) der \((x, y)\)-Ebene nach unten konvex. Die isoperimetrische Ungleichung bedeutet, daß der Punkt \((L, J)\) dieser Ebene, der eine Fläche von der Oberfläche \(L\) und mit dem Inhalt \(J\) darstellt, nicht oberhalb dieser Kurve liegt. Verf. verschärft diese Aussage, indem er zeigt, daß der Bildpunkt eines Drehkörpers, dessen größter Breitenkreis den Radius \(R\) hat, und dessen Meridiankurve stückweise stetig differenzierbar ist und die Drehachse genau zweimal trifft, nicht oberhalb der Tangente im Punkte \((\overline L (R), \overline J (R))\) an die obige Kurve liegt. Die Schranke wird für festes \(L \geqq \overline L (R) \) erreicht, wenn die Meridiane ``Kreis-Rechteck''-Gestalt haben, der Körper also erzeugt wird von einer Kugel vom Radius \(R\), deren Mittelpunkt sich auf einer Strecke der Drehachse bewegt. Für festes \(L>\overline L(R)\) wird die obige lineare Schranke nicht erreicht, maximalen Inhalt hat hier der Körper, dessen Meridiankurve ``Linsenform'' hat, also gebildet wird von zwei kongruenten Kurvenbogen konstanter Krümmung, die die Drehachse senkrecht schneiden und sich in zwei Punkten im Abstand \(R\) von ihr treffen. Für \(n = 2\) gelten alle Behauptungen, sogar für eine beliebige stückweise stetig differenzierbare einfach geschlossene Kurve, die einem Parallelstreifen der Breite \(2R\) einbeschrieben ist. Die lineare Ungleichung hat die Gestalt \[ J-\frac{T(R)}{n-1} L\leqq \overline J(R)-\frac{T(R)}{n-1} \overline L(R); \] im euklidischen Fall ist \(T(R) = R\), im hyperbolischen der Krümmung \(-1\) ist \(T (R) =\mathop{\mathfrak{Tg}} R\), im sphärischen der Krümmung 1 ist \(T (R) = \mathop{\text{tg}} R\). Die beiden ersten Fälle werden in früheren Arbeiten des Verf. (Math. Z. 44 (1939), 689-788 (F. d. M. 65, 833 (JFM 65.0833.*)) und vorstehend besprochene Arbeit) behandelt. Im hier behandelten sphärischen Fall muß \(R \leqq\dfrac\pi2\) vorausgesetzt werden, und man kann \(L \leqq nE_n\) annehmen (\(E_n\) stellt das Volumen der \(n\)-dimensionalen euklidischen Einheitskugel dar). Der Fall \(L = nE_n\) läßt sich leicht gesondert behandeln, im andern Fall ist \(R < \dfrac\pi2\) und wird die Untersuchung geführt, indem die Meridiankurve aus einem Punkte, dessen Entfernung zur Drehachse \(\dfrac\pi2\) beträgt, stereographisch projiziert wird und in der Projektion Polarkoordinaten eingeführt werden; dadurch geht das Variationsproblem für die Meridiankurve über in ein ebenes für Kurven, die einem vorgegebenen Parallelstreifen einbeschrieben sind, das sich mit der in den angegebenen Arbeiten vom Verf. entwickelten Methode behandeln läßt. (Vgl. auch die spätere Arbeit, Math. Z. 47 (1942), 489-642; F. d. M. 68).