Einige Fragen aus der aerodynamischen Theorie des Widerstandes. (Q2590040)

Zunächst stellt Verf. fest, daß die Theorie der asymmetrischen und ein\-seitig unendlichen Kármánschen Wirbelstraße hinreichend genaue Stabilitäts\-bedingungen liefert für die reelle Wirbelstraße, die sich hinter der Rückseite eines schwach umflossenen Körpers in der unbeschränkten Flüssigkeit bildet. (Vgl. \textit{B. Dolaptschiew}, Z. angew. Math. Mech. 17 (1937), 313-323; F. d. M. \(63_{\text{II}}\), 1353). Für hinreichend große Reynoldssche Zahlen genügen also die Wirbelsysteme der Kármánschen Stabilitätsbedingung, so daß man zu richtigen Ergebnissen kommt, wenn man in die Wirbelwiderstandsformel für die beiden mit der geometrischen Form des Körpers zusammenhängenden Konstanten die experimentell gefundenen Werte einsetzt. Das Grundproblem der Theorie des Wirbelwiderstandes bei plan\-paralleler Strömung ist die Bestimmung der Zirkulation der entstehenden Wirbel. Das komplexe Strömungspotential \(w(z)\) eines planparallel umflossenen Kreis\-zylinders (\(A\)) mit Radius 1 und der entstehenden Wirbelstraße läßt sich in der Form \[ w(z)=\left(z+\dfrac{1}{z}\right)u_0+\frac{i\varGamma}{2\pi}\lg {\prod\limits_{n=1}^{\infty}}(z-z_{2n-1})\left(z\dfrac{1}{\overline{z}_{2n}}\right)(z-z_{2n})^{-1}\left(z\dfrac{1}{\overline{z}_{2n-1}}\right)^{-1} \tag{1} \] schreiben. Hierin sind \(z_{2n-1}=z_1+(n-1)\,l\); \(z_{2n}=\overline{z}_1+ \left(n-\dfrac{1}{2}\right)l\); \(z_1\) die Koor\-dinaten des ersten (oberen) Wirbels, \(\varGamma\) die Zirkulation und \(u_0\) die Strömungsge\-schwindigkeit im Unendlichen. Verf. berechnet die Geschwindigkeit des Wirbels \(z_1\) und jene auf dem Zylinderrand mit Hilfe von Polarkoordinaten \((\varrho,\psi)\) und als Para\-meter der Breite der Wirbelstraße \(h\). Es folgt, daß \begin{itemize} \item[1)] auf diese Geschwindigkeiten die vom Zylinder weit entfernten Wirbel sehr wenig einwirken, \item[2)] die mit Hilfe von (1) konstruierte Strömung der idealen Flüssigkeit, zum Unterschied vom sta\-tionären Kármánschen Strömungspotential, kein stationäres Bild darstellt, so daß dem Wirbel \(z_1\) ein Geschwindigkeitsfeld zukommt, das dem Geschwindigkeitsfeld einer reellen Flüssigkeit mit schwacher Zähigkeit entspricht. \end{itemize} Verf. berechnet die Koordinaten \(z_1\) und die Zirkulation \(\varGamma\) des maximalen Wirbels aus den Annahmen: \begin{itemize} \item[1)] Seine Geschwindigkeit \(u_1\) ist \(u_0\) parallel, d.h. \(v_1= 0\); \item[2)] \(h =2\); \item[3)] \(\dfrac{du_1}{d\varrho}=0\) und bei Benutzung der Kármánschen Stabilitätsbedingung und der Wirbelwider\-standsformel. \end{itemize} Ferner führt Verf. entsprechende Berechnungen für das Strömungs\-potential \[ w(z)=\left(z+\dfrac{1}{z}\right)u_0+\frac{i\varGamma}{2\pi}\lg\, (z-z_{1})\left(z\dfrac{1}{\overline{z}_{1}}\right)(z-\overline{z}_1)^{-1}\left(z\dfrac{1}{\overline{z}_{1}}\right)^{-1} \tag{2} \] aus, welches dem (\(A\)) zusammen mit einem einzigen symmetrisch gelagerten Wirbel\-paar entspricht. Dieses entsteht hinter dem (\(A\)) am Anfang seiner Bewegung inner\-halb der Flüssigkeit (vgl. \textit{H. Rubach}, Forschungsheft V. D. I. No. 185 (1916)). Verf. zeigt, daß die nach (1) und (2) berechneten Zirkulationen \(\varGamma\) sich voneinander nur um \(3\%\) unterscheiden. Er untersucht die Umströmung einer quer zur Strömung ge\-stellten unendlich langen ebenen Platte (\(B\)) von der Breite \(b = 4\), indem der Strö\-mungsbereich \(z\) von (2) derart konform auf die Ebene \(\zeta=z-\dfrac1z\) abgebildet wird, daß die Ränder von (\(A\)), (\(B\)) einander entsprechen und \(z_1\), \(\overline{z}_1\) in die hinter (\(B\)) lie\-genden Punkte \(\zeta_1\), \(\overline{\zeta}_1\) übergehen. Ferner berechnet Verf. die Geschwindigkeit \(\vec{V}^*\) des Wirbels \(\zeta_1\). Die Bedingungen, daß \begin{itemize} \item[1)] die Geschwindigkeiten auf den beiden Kanten der Platte endlich bleiben, d. h. \((u^*)_{\varphi=\frac\pi2}= 0\), \item[2)] für den Abstand \(h\) zwischen den Wirbeln \(\zeta_1\) und \(\overline{\zeta}_1\) gilt \(h=b=4\), \item[3)] \(v^* = 0\) für den Wirbel \(\zeta_1\) er\-möglichen die Berechnung der Zirkulation \(\varGamma\) von \(\zeta_1\) und seiner Lage relativ zur Platte. \end{itemize} Ist der Abstand \(h\) nicht vorgegeben, so ist die Bedingung 2) durch \(\dfrac{du^*}{d\varrho}= 0\) zu ersetzen. Man kann dann \(h\), \(\varGamma\) und die Lage von \(\zeta_1\) berechnen. Verf. löst die ent\-sprechende Aufgabe auch für das durch (1) gegebene Strömungspotential, wobei er die Breite der Wirbelstraße \(h\) der Plattenbreite \(b = 4\) gleichsetzt und wiederum die Bedingungen \((u^*)_{\varphi=\frac\pi2}= 0\), \(v^* = 0\) stellt. Er zeigt ferner, daß im Gebiete sehr großer Reynoldszahlen die Experimente die Unabhängigkeit des Koeffizienten für den Formwiderstand der Platte von diesen Zahlen ergeben, und daß für schwach umflossene Zylinder, bzw. Platte, in diesem Falle der gesamte Formwiderstand fast gänzlich dem Wirbelwiderstand zuzuschreiben ist. Für stark umflossene Körper ist jedoch der Wirbelwiderstand praktisch Null und also dann nur der \ Reibungswider\-stand ausschlaggebend. Verf. vergleicht seine Ergebnisse mit den experimentell ge\-fundenen Werten und findet durchaus gute Übereinstimmung (vgl. auch Verf. Trudy centralnego aero-gidrodinamičeskogo Instituta, H. 317 (1937)). Für den Zylinder gilt die Lösung nur unterhalb der kritischen Zone, da beim Zustand voll\-kommen stationärer Turbulenz die Breite der Wirbelstraße kleiner als der Durch\-messer des Zylinders ist. Für die Platte gilt jedoch die Lösung für jede beliebige Reynoldssche Zahl. Ferner bestimmt Verf. \begin{itemize} \item[1)] für den Zylinder bzw. die Platte die Abgangsperiode \(T=\dfrac l{u_0-\overline{u}}\), wobei \(\overline{u}=\dfrac\varGamma{l\sqrt8}\) die Gesamtgeschwindigkeit der Wirbelstraße ist; die Berechnungen stehen mit den Beobachtungen im Einklang (vgl. \textit{H. Blenk, D. Fuchs, F. Liebers}. Luftfahrt-Forschung 12, (1935), 38-41), \item[2)] den Abreißpunkt der Strömung für den elliptischen, bzw. den Kreiszylinder, \item[3)] die Zir\-kulation \(\varGamma\) als Funktion der Zeit \(t\) in der Nähe von \(\varGamma_{\text{max}}\), wobei das nichtstationäre Strömungsbild (1) zugrundegelegt wird, \item[4)] die Strömungskraft auf den Zylinder bzw. die Platte, \item[5)] die Wachstumsfunktion \(\varGamma=\varGamma(t)\) des Prandtlschen Anfangs\-wirbels \(z_1\) bzw. \(\zeta_1\) für den Zylinder bzw. die Platte bei kleinen Angriffswinkeln \(\theta\) und bei Zugrundelegung des Strömungspotentials \[ w(z)=u_0e^{i\theta}\cdot\left(z+\dfrac{e^{2i\theta}}{z}\right)\dfrac{i\varGamma}{2\pi}\lg\,(z-z_1)\left(z-\dfrac{1}{\overline{z}_1}\right)^{-1} \tag{3} \] und der Abbildungsfunktion \(\zeta=z+\dfrac1z\). \end{itemize} Verf. löst die Aufgabe 5) bei den Anfangs\-bedingungen \(z_1=0\), \(\varGamma=0\) für \(t = 0\) für den symmetrischen Tragflügel von N. E. Joukowski. Als Ausgangspunkt wird also das Strömungspotential (3) und als Ab\-bildungsfunktion \[ \zeta= (z - \varepsilon)+\frac{(1-\varepsilon)^2}{z-\varepsilon};\;\varepsilon = \text{Flügeldicke} \] gewählt. Daraus und bei Benutzung einer Formel von \textit{M. Lagally} (Z. angew. Math. Mech. 2 (1922), 409-422; F. d. M. \(48_{\text{II}}\), 949) berechnet Verf. die Hubkraft auf den Flügel und den Widerstand seiner Stirnfläche.