The dynamics of stellar systems. IX-XIV. (Q2590078)

Im Anschluß an die in den früher veröffentlichten Teilen (Astrophysic J., Chicago, 90 (1939), 1-154; F. d. M. 65, 916 (JFM 65.0916.*)) durchgeführte Diskussion \textit{stationärer} Sternsysteme nimmt Verf. nunmehr die Behandlung \textit{nichtstationärer} Systeme auf. In allgemeinen orthogonalen krummlinigen Koordinaten des Orts \(\lambda\), \(\mu\), \(\nu\) und der Geschwindigkeit \(\boldsymbol\varLambda\), \(\boldsymbol M\), \(\boldsymbol N\) sei das System charakterisiert durch die Verteilungs\-funktion \(\psi=\psi(Q+\sigma)\) mit \[ \begin{multlined} Q = a(\boldsymbol\varLambda- \boldsymbol\varLambda_0)^2+b(\boldsymbol M-\boldsymbol M_0)^2 + c(\boldsymbol N -\boldsymbol N_0)^2\\ + 2f(\boldsymbol M- \boldsymbol M_0)(\boldsymbol N- \boldsymbol N_0) + 2g (\boldsymbol N - \boldsymbol N_0)(\boldsymbol\varLambda - \boldsymbol\varLambda_0) + 2h(\boldsymbol\varLambda- \boldsymbol\varLambda_0)(\boldsymbol M- \boldsymbol M_0) \end{multlined} \] wobei die Größe \(\sigma\), die das Geschwindigkeitsellipsoid bestimmenden Koeffizienten \(a\), \(b\), \(c\), \(f\), \(g\), \(h\) und die Strömungen \(\boldsymbol\varLambda_0\), \(\boldsymbol M_0\), \(\boldsymbol N_0\) als Funktionen des Ortes \(\lambda\), \(\mu\), \(\nu\) und der Zeit \(t\) zu betrachten sind. Die Bewegung der Einzelsterne werde bestimmt durch ein Potential \(\mathfrak B(\lambda,\mu,\nu; t)\). Die Aufgabe besteht darin, die Bedingungen zu ermitteln, unter denen eine Funktion \(\psi\) der angegebenen Art eine Lösung der Kontinuitäts\-gleichung \(\dfrac{d\psi}{dt}=0\) darstellt. Auf die Poissonsche Gleichung \(\varDelta\mathfrak B= 4\pi G\varrho\) (\(\varrho =\) Massen\-dichte) wird nirgends Bezug genommen. Durch Einführung obigen Ansatzes für \(\psi\) geht die Kontinuitätsgleichung in ein Polynom 3. Grades in \(\boldsymbol\varLambda\), \(\boldsymbol M\), \(\boldsymbol N\) über; Null\-setzen aller Koeffizienten liefert dann 20 partielle Differentialgleichungen erster Ordnung, die in drei Gruppen zerfallen: 1) 10 Gleichungen mit örtlichen Ableitungen der Koeffizienten \(a\), \(b\), \(c\), \(f\), \(g\), \(h\), 2) 6 Gleichungen mit örtlichen Ableitungen der Strömungen \(\boldsymbol\varLambda_0\), \(\boldsymbol M_0\), \(\boldsymbol N_0\) und zeitlichen der Koeffizienten \(a\), \(b\), \(c\), \(f\), \(g\), \(h\), 3) 4 Glei\-chungen, die neben örtlichen und zeitlichen Ableitungen der Strömungen \(\boldsymbol\varLambda_0\), \(\boldsymbol M_0\), \(\boldsymbol N_0\) und der Koeffizienten \(a\), \(b\), \(c\), \(f\), \(g\), \(h\) örtliche Ableitungen des Potentials \(\mathfrak B\) enthalten und ihrerseits auf 6 ``Integrabilitätsbedingungen'' führen. Die weitere Behandlung besteht in einer umfangreichen Diskussion bedeutsam erscheinender Spezialisie\-rungen. An erster Stelle wird das ebene Problem mit kreissymmetrischem Potential untersucht. Dabei ergibt sich, daß die allgemeinste für \(\mathfrak B\) mögliche Form bestimmt ist durch (\(\overline{\omega} =\) Radiusvektor) \[ \dfrac{\partial \mathfrak B}{\partial \overline{\omega}}= -\frac{\ddot\varPhi}\varPhi\overline{\omega}+\frac1{\varPhi^3}\cdot \left(\dfrac{\overline{\omega}}{\varPhi}\right), \] worin \(\varPhi\) eine willkürliche Funktion der Zeit \(t\) und \(F\) eine willkürliche Funktion seines Arguments ist. Hierbei bietet die spezielle Wahl \(F = \text{const}\cdot\dfrac{\varPhi^2}{\overline{\omega}^2}\) besonderes sachliches und formales Interesse. Im räumlichen Problem werden zunächst die Fälle kugelsymmetrischen und axialsymmetrischen Potentials behandelt. Es folgt die Untersuchung des Falles, daß die Äquipotentialflächen konzentrische Ellipsoide sind: \[ \mathfrak B=\tfrac12[\alpha_1(t)x^2+\alpha_2(t)y^2+\alpha_3(t)z^2]+\mathfrak B_0(t). \] Von besonderem Interesse sind hierbei sphäroidische Systeme (\(\alpha_1\equiv\alpha_2\)); dafür erhält man die Differentialgleichung \[ 3\cdot|\alpha_3-\alpha_1|^{1/4}\frac{d^2}{dt^2}\frac1{|\alpha_3-\alpha_1|^{1/4}}+ 4\alpha_1-\alpha_3=0. \] Diese ermöglicht eine Untersuchung der Stabilität der durch \(4\alpha_1=\alpha_3\) gekenn\-zeichneten Konfigurationen; ferner läßt sich mit ihrer Hilfe die Entwicklung un\-endlich flacher \(\big({}^{\alpha_1}\!/\!{}_{\alpha_3}\to0\big)\) Systeme verfolgen. Verf. weist auf die Bedeutung solcher Betrachtungen für das Problem der Entwicklung elliptischer Nebel hin. Des weiteren wird der Fall behandelt, daß \(\alpha_1\), \(\alpha_2\), \(\alpha_3\) von \(t\) nicht abhängen. Ein umfang\-reicher Abschnitt ist schließlich der Theorie nichtstationärer Sternsysteme mit \textit{sphärischer} Geschwindigkeitsverteilung gewidmet; die Diskussion umfaßt Systeme mit Spiralstruktur mannigfacher Form. Zum Schluß werden die Bedingungen für die Darstellung eines Sternsystems durch Überlagerung mehrerer Verteilungsfunk\-tionen besprochen.