The theory of the electric charge and the quantum theory. II. (Q2590103)

Im Jahre 1921 erreichte \textit{Th. Kaluza} (S.-B. Preuß. Akad. Wiss. 1921, 966-972; F. d. M. 48, 1032 (JFM 48.1032.*), 1327) eine fünfdimensionale Einbettung des Elektromagnetismus in die Riemannsche Geometrie. Die dadurch gewonnenen formalen Beziehungen verdienen insofern eine Beachtung, als sie eine höhere Stufe in der Schematisierung der Naturgesetze darstellen. Die fünfte Dimension, im Gegensatz zu der vierten, ist aber nur ein mathematischer Hilfsbegriff, und es wäre durchaus nicht erlaubt, damit sinnlos zu spekulieren, wie z. B. in jenen Theorien, die dem Spin eine kon\-jugierte neue Dimension zuordnen, wobei auf die Tatsache verzichtet wird, daß. der Spin ein wellenmechanischer Effekt ist, der in klassischer Näherung nicht in Erscheinung tritt. Nun hat Verf. in einer Reihe von Arbeiten (Proc. R. Soc. Lon\-don, A 150 (1935), 421-441; Proc. physic. Soc., London, 50 (1938), 340-344, 899-909; Philos. Mag., J. Sci., London, (7) 29 (1940), 330-343 (Teil I); F. d. M. \(61_{\text{II}}\), 1566; \(64_{\text{I}}\), 892, 891; 66, 1148) die von \textit{H. Tetrode} (Z. Physik 50 (1928), 336-346; F. d. M. 54, 992 (JFM 54.0992.*)) gegebene allgemein kovariante Formulierung der Diracschen Gleichung im Sinne von Kaluza verallgemeinert (vgl. Ref. Ann. Physik (5) 7 (1930), 650-660; Z. Physik 61 (1930), 395-410; F. d. M. \(56_{\text{I}}\), 753; \(56_{\text{II}}\), 1307). Verf. glaubt in diesem Zusammenhang eine Erklärung für die Unscharfe der raum-zeitlichen Lokalisier\-barkeit des Elektrons dadurch zu gewinnen, daß er die Invarianz der vierdimen\-sionalen Länge bei der Parallelübertragung preisgibt und eine solche nur für die fünfdimensionale Länge postuliert. Indem Verf. für den Faktor \(\alpha\) vor den Poten\-tialen \(\varPhi_i\) nicht den O. Kleinschen Wert \(\sqrt{2\varkappa}\) (\(\varkappa =\) Einsteinsche Gravitationskon\-stante) (vgl. \textit{O. Klein}, Z. Physik 37 (1926), 895-906; 46 (1927), 188-208; F. d. M. 52, 970 (JFM 52.0970.*), 53, 872), sondern den Wert \(\dfrac e{m_0c^2}\) (\(m_0=\) Ruhmasse des Elektrons) einsetzt, stellt er die Bewegungsgleichungen des Elektrons als geodätische Nullinien im Ka\-luzaschen Raume \(R_5\) dar. \textit{Bemerkung des Ref.}: Gegen eine solche Darstellung seien die Ausführungen von \textit{E. Reichenbächer} (Z. Physik 50 (1928), 425-432; F. d. M. 54, 945 (JFM 54.0945.*)) erwähnt. Auch die Feldgesetze im Vakuum lassen sich aus einer Hamilton\-funktion von der Form \(P\sqrt\gamma\) (\(P =\) Krümmungsskalar im \(R_5\)) nur dann herleiten, wenn für den Faktor \(\alpha\) der Kleinsche Wert \(\sqrt{2\varkappa}\) gesetzt wird. Die neue Auffassung veranlaßt Verf., die Elektronen gewissermaßen als ``Photonen'' im \(R_5\) zu betrachten. In der vorliegenden Arbeit deutet Verf. also die Gleichungen im \(R_5\): \[ \dfrac{\partial}{\partial x^{\nu}}\big(\sqrt\gamma\gamma^{\mu\alpha}\gamma^{\nu\beta} T_{\alpha\beta}\big)=0;\quad T_{\alpha\beta}=\dfrac{\partial \psi_\beta}{\partial x^\alpha}\dfrac{\partial \psi_\alpha}{\partial x^\beta}, \] wobei \(\psi_5 = 0\) und \(\psi_i\) (\(i = 1\), 2, 3, 4) periodisch von \(x^0\) abhängen, als Feldgleichungen der elektrischen Ladung. Er definiert auch einen entsprechenden Energietensor \(R^{\mu\nu}\) im \(R_5\), der den üblichen Energietensor \(E^{ik}\) und den elektrischen Stromvektor \(I^i\) in sich enthält. Dabei hängen \(E^{ik}\), \(I^i\) von \(\psi_i\), \(\psi_i^*\) und ihren ersten Ableitungen in ähnlicher Weise wie in der Theorie von \textit{A. Proca} (J. Physique Radium (7) 7 (1936), 347-353; 8 (1937), 23-28; F. d. M. \(62_{\text{II}}\), 1633; \(63_{\text{II}}\), 1395) ab. Die Quantisierung dieser Feldtheorie wird vom Verf. in ähnlicher Weise, wie bei \textit{H. Fröhlich, W. Heitler, N. Kemmer} (Proc. R. Soc. London, A 166 (1938), 154-177) durchgeführt. Es er\-gibt sich als Folge der Vertauschungsrelation für die fünfte Koordinate \(x^5\) die Mög\-lichkeit von Übergängen zwischen elementaren Partikeln. Die weiteren Betrachtungen des Verf. sind Wiederholungen seiner früheren Ergebnisse über Matrizengeometrie und Diracsche Gleichung im \(R_5\).