Über eine Binomialkoeffizienten-Identität. (Q2590277)

Außer der bekannten Beziehung \[ \sum_{p=1}^n (-1)^p p^{n+k} \binom np = (-1)^n n!\,P_{n, k} \qquad (n, k \, \text{ ganz}) \] mit \[ \begin{matrix} P_{n,k} = \sum 1^{\varrho_1} \, 2^{\varrho_2} \cdots n^{\varrho_n} \\ (\varrho_1 + \varrho_2 + \cdots + \varrho_n = k; \qquad \varrho_i \geqq 0, \,\text{ ganz}) \end{matrix} \] wird für beliebiges \(\alpha\) und \(\varepsilon\) folgende Formel bewiesen: \[ \begin{matrix} \sum \alpha^{\sigma_1}(\alpha + \varepsilon)^{\sigma_2} \cdots (\alpha + n\varepsilon)^{\sigma_{n+1}} \\ = \binom{n+k}{k} \alpha^k + \binom{n+k}{k-1} P_{n, 1}\alpha^{k-1} \varepsilon + \cdots + P_{n, k} \varepsilon^k, \\ (\sigma_1 + \sigma_2 + \cdots + \sigma_{n+1} = k; \quad \sigma_i \geqq 0, \, \text{ ganz}) \end{matrix} \] aus der sich mit \(\alpha = \varepsilon = 1\) eine Rekursionsformel für die \(P_{n, k}\) ergibt.