Una dimostrazione elementare della regola di Laplace per lo sviluppo di un determinante. (Q2590284)

Diese elementare Ableitung des Laplaceschen Entwicklungssatzes fußt auf der Lagrangeschen Entwickelung einer Determinante nach den Elementen einer Zeile und entwickelt daraus zuerst die Spezialfälle des Laplaceschen Entwicklungssatzes für den Typus einer Matrix \[ \begin{vmatrix} \l & \;\l \\ \mathfrak A_{m, k}, & \mathfrak O_{m, n-k} \\ \mathfrak O_{n-m, k}, & \mathfrak B_{n-m, n-k} \end{vmatrix} \;\begin{matrix} \l \\ = |\mathfrak A_{m, k}| \cdot |\mathfrak B_{n-m, n-k}| \text{ für } \;m = k \\ = 0 \;\text{ für } \;m \neq k. \end{matrix} \] Der allgemeine Laplacesche Entwicklungssatz folgt daraus und aus der Regel über die Bildung einer Determinante, deren Elemente Summen sind, indem man die Determinante schreibt \[ D = \begin{vmatrix} \l & \;\l & \;\l & \;\l \\ a_{1,1} + 0, & a_{1,2} + 0, & \cdots & a_{1, n} + 0 \\ \hdotsfor 4 \\ a_{m,1} + 0, & a_{m,2} + 0, & \cdots & a_{m, n} + 0 \\ 0 + a_{m+1,1}, & 0 + a_{m+1,2} & \cdots & 0 + a_{m+1,n} \\ \hdotsfor 4 \\ 0 + a_{n,1} & 0 + a_{n,2} & \cdots & 0 + a_{n,n} \end{vmatrix} \]