A contribution to the reducibility of a polynomial in the theory of congruences (Q2590323)

\(f (x)\) sei ein Polynom mit Koeffizienten aus dem Restklassenkörper \(\mathfrak K_p\) in bezug auf den Primzahlmodul \(p\). Die Potenzen \(x^{\nu \cdot p}\) (\(\nu = 0,1,\dots, n - 1\)) können dann mod (\(f (x); p)\) durch die Potenzen \(x^0,\dots, x^{n-1}\) linear ausgedrückt werden. Die quadratische, \(n\)-reihige Matrix dieser Koeffizienten heiße \(C\). Verf. beweist nun folgenden Satz: Besitzt \(f(x)\) \bmod p\) eine Zerlegung in irreduzible Faktoren \(f_1, \dots, f_m\) der Grade \(q_1, \dots, q_m\) in der Form \[ f(x) \equiv f_1 (x)^{r_1} \cdots f_m (x)^{r_m}, \] so hat die charakteristische Determinante von \(C\) den Wert \[ | C - \lambda E | = (- 1)^n \cdot \lambda^{(r_1 -1)q_1 + (r_2-1) q_2 + \cdots + (r_m -1)q_m} \cdot (\lambda^{q_1} -1 )(\lambda^{q_2} -1 ) \cdots (\lambda^{q_m} -1 ) \] (\(E\) ist die Einheitsmatrix).