Eine merkwürdige Mittelbildung bei algebraischen Gleichungen mit lauter positiven Wurzeln. (Q2590330)

Es sei \(0 < \lambda_1 \leqq \lambda_2 \leqq \cdots \leqq \lambda_N\). Ferner seien \(c_1, c_2, \dots, c_N\) reelle Zahlen, die nicht sämtlich verschwinden. Setzt man für \(\nu = 1, 2, \dots, N\) \[ f_\nu (\lambda) = 1 - \frac {\lambda}{\lambda_\nu} \quad \text{ und } \quad g_\nu (\lambda)= \lambda - \lambda_\nu, \] dann sind \[ f(\lambda)= \sum_{\nu = 1}^N c_\nu^2 f_\nu (\lambda) \quad \text{ und } \quad g(\lambda)= \sum_{\nu = 1}^N c_\nu^2 g_\nu (\lambda) \] Polynome ersten Grades in \(\lambda\), für deren Nullstellen \[ \lambda^\prime_1 = \frac {c_1^2 + c_2^2 + \cdots + c_N^2} {\dfrac {c_1^2}{\lambda_1} + \dfrac {c_2^2}{\lambda_2} + \cdots + \dfrac {c_N^2}{\lambda_N} } \quad \text{ und } \quad \lambda^{\prime\prime } = \frac {c_1^2 \lambda_1+ c_2^2 \lambda_2+ \cdots + c_N^2\lambda_N} {c_1^2 + c_2^2 + \cdots + c_N^2} \] die Ungleichungen \(\lambda_1 \leqq \lambda_1^\prime \leqq \lambda_1^{\prime\prime }\) bestehen. Während die linke Seite der Ungleichungen trivial ist, gibt die rechte die Größenbeziehung zwischen dem harmonischen und arithmetischen Mittel an. Dieser Satz ist der Spezialfall \(n =1\) des folgenden Satzes: Es sei \(0 < \lambda_1 \leqq \lambda_2 \leqq \cdots \leqq \lambda_N\). Ferner seien \(y_\nu^{(\mu)}\) (\(\nu =1,2,\dots, N\); \(\mu =1,2,\dots, n\)) reelle Zahlen, derart daß nicht alle Determinanten \[ c_{i_1, \dots, i_n} = \begin{vmatrix} y_{i_1}^{(1)} & \cdots & y_{i_1}^{(n)} \\ \hdotsfor{3} \\ y_{i_n}^{(1)} & \cdots & y_{i_n}^{(n)} \\ \end{vmatrix} \quad (1 \leqq i_\nu \leqq N) \] verschwinden. Setzt man \[ f_{i_1, \dots, i_n}(\lambda) = \prod_{\nu = 1}^n \left( 1 - \frac {\lambda}{\lambda_{i_\nu}} \right) \quad \text{ und } \quad g_{i_1, \dots, i_n} (\lambda) = \prod_{\nu = 1}^n (\lambda - \lambda_{i_\nu}), \] dann sind \[ f(\lambda)= \sum_{1 \leqq i_1 < \cdots < i_n \leqq N} c^2_{(i)} f_{(i)} (\lambda) \quad \text{ und } \quad g(\lambda)= \sum_{1 \leqq i_1 < \cdots < i_n \leqq N} c^2_{(i)} g_{(i)} (\lambda) \] Polynome \(n\)-ten Grades mit lauter positiven Nullstellen \(\lambda_1^\prime, \lambda_2^\prime, \dots, \lambda_n^\prime\) und \(\lambda_1^{\prime\prime}, \lambda_2^{\prime\prime}, \dots, \lambda_n^{\prime\prime}\), für die bei Anordnung nach nicht abrahmender Größe die Ungleichungen \[ \lambda_\nu \leqq \lambda_\nu^\prime \leqq \lambda_\nu^{\prime\prime} \quad (\nu = 1,2, \dots, n) \] bestehen. Verf. beweist diesen Satz, indem er positiv definite quadratische Formen mit den Eigenwerten \(\lambda_\nu\), \(\lambda_\nu^{\prime}\) und \(\lambda_\nu^{\prime\prime}\) konstruiert und die zu den Formen gehörenden Flächen zweiter Ordnung näher betrachtet. Der Satz hat eine wichtige Bedeutung für das neue Näherungsverfahren von \textit{R. Grammel} (Ein neues Verfahren zur Lösung technischer Eigenwertprobleme, Ingenieur Arch. 10 (1939), 35-46; F. d. M. 65) zur Lösung technischer Eigenwertprobleme, indem aus ihm folgt, daß die Grammelschen Näherungen obere Schranken für die wahren Eigenwerte darstellen, die besser sind, als die nach dem Galerkinschen Verfahren gefundenen Näherungswerte. \ \ (D 17.)