Über Systeme reeller algebraischer Gleichungen. (Q2590331)

\(f_\nu (x_1, \dots, x_r; y_1, \dots, y_s)\) (\(\nu = 1, 2, \dots, n\)) seien \(n\) Polynome mit Koeffizienten aus einem reell abgeschlossenen Körper \(R\) (Charakteristik 0), und zwar homogen von ungeradem Grad sowohl in den \(x_\varrho\) als in den \(y_\sigma\). Das Gleichungssystem \(f_\nu = 0\) hat die trivialen Lösungen \(x_\varrho = 0\), \(y_\sigma\) beliebig und \(x_\varrho \) beliebig, \(y_\sigma = 0\). Wenn es keine andern Lösungen hat, heißt es \textit{definit}. Für \(n \geqq r+s - 1\) gibt es stets definite Systeme, schon gewisse bilineare Systeme sind dann definit. Der kleinste Wert \(n\), für den es bei gegebenem \(r, s\) definite Systeme gibt, wird mit \(n^* (r, s)\) bezeichnet; es ist also \(n^*(r, s) \leqq r + s - 1\). Nun werden die folgenden Sätze bewiesen: I. Notwendig für die Existenz eines definiten Systems ist, daß die Binomialkoeffizienten \[ \binom nk \quad \text{ mit } \quad n - r < k < s \] sämtlich gerade sind. Dieser Satz, der auch von \textit{H. Hopf} auf topologischem Weg bewiesen wurde (die Arbeit soll in Compositio math., Groningen erscheinen) gestattet, \(n^* (r, s)\) nach unten abzuschätzen. II. Wenn \(n^* (r, r) = r\) ist für \(r = 1, 2, 2^2, \dots, 2^h\) (was z. B. für \(h \leqq 3\) zutrifft), und wenn die Binomialkoeffizienten \[ \binom n{k^\prime}, \quad \text{ wobei } n - r < k < s, \quad k^\prime = \text{ kleinster Rest von } k \mod{2^h}, \] sämtlich gerade sind, so existiert ein definites System von \(n\) Gleichungen. Dieser Satz gestattet, \(n^* (r, s)\) nach oben abzuschätzen. Der algebraische Beweis dieser Sätze ist naturgemäß nicht einfach und stützt sich auf die verschiedenen Arbeiten von \textit{van der Waerden} über algebraische Geometrie. In manchen Fällen stimmen die aus I und II zu errechnenden unteren und oberen Schranken für \(n^* (r, s)\) überein, so daß man den genauen Wert erhält. In andern Fällen ergeben sich immerhin günstige Abschätzungen. So ist für \(s = r\) \[ n^*(1,1) = 1, \quad n^* (2, 2) = 2, \] \[ n^* (3, 3) = n^* (4, 4) = 4, \] \[ n^* (5, 5) = n^* (6, 6) = n^* (7, 7) = n^* (8, 8) = 8, \] \[ 16 \leqq n^* (9, 9) \leqq 17, \] \[ 16\leqq n^* (10,10) \leqq 18, \] \[ 16 \leqq n^* (11,11) \leqq n^* (12,12) \leqq 20, \] \[ 16 \leqq n^* (13,13) \leqq n^* (14,14) \leqq n^* (15,15) \leqq n^* (16,16) \leqq 24, \] \[ 32 \leqq n^* (17,17) \leqq 33. \]