Über freie Faktorgruppen und freie Untergruppen gegebener Gruppen. (Q2590355)

Es wird der Satz 1 bewiesen: Eine Gruppe \(G\) mit \(n + r\) Erzeugenden und \(r\) definierenden Relationen ist, falls bereits aus \(n\) geeigneten Elementen erzeugbar, freie Gruppe aus \(n\) Erzeugenden. Der entsprechende Satz für Abelsche Gruppen ist sicher richtig; also ist oben die maximale Abelsche Faktorgruppe von \(G\) freie Abelsche Gruppe von \(n\) Erzeugenden, d. h. direktes Produkt von \(n\) unendlichen zyklischen Gruppen. Der Beweis verläuft nun so, daß aus letzter Eigenschaft und \(n + r\) Erzeugenden mit \(r\) Relationen gefolgert wird: Es lassen sich die \(n + r\) Erzeugenden so wählen, daß \(r\) von ihnen im Kommutator liegen und die zu ihnen gehörigen \(r\) Kommutatorrelationen die einzigen sind (Hilfssatz 1), und hieraus (Hilfssatz 2), daß die Faktorgruppen \(G/G_m\) der absteigenden Zentralreihe von \(G\) mit der der freien Gruppe \(F\) von \(n\) Erzeugenden isomorph sind. Zieht man nun noch wieder heran, daß \(G\) aus \(n\) Elementen erzeugbar ist, so liefert das Satz 1. Ohne die Voraussetzung ``aus \(n\) Elementen erzeugbar'' kann man aus Isomorphie der zentralen Faktorgruppen nur schließen (Satz 4), daß \(G\) eine freie Untergruppe \(H\) von \(n\) Erzeugenden, z. B. den nach der Wahl von Hilfssatz 1 außerhalb \(G'\) liegenden \(n\) Erzeugenden, hat, die zugleich mit jeder Zentraluntergruppe \(G_m\) zusammen \(G\) erzeugen. \(G\) kann z. B. das Produkt einer freien mit einer einfachen endlichen Gruppe sein. Der leicht zu beweisende Satz 3, daß eine Gruppe von \(n\) Erzeugenden bereits die freie \(F\) ist, wenn ihre zentralen Teilfaktorgruppen \(G_m/G_{m+1}\cong F_m/F_{m+1}\), wird für Satz 4 eigentlich nicht verwandt, weil mit \(G/G_m \cong F/F_m\) operiert wird.