Contributions to the theory of groups of finite order. (Q2590377)

Die Arbeit behandelt verschiedene Gegenstände. Von den sehr zahlreichen Einzelergebnissen können hier nur Stichproben mitgeteilt werden. 1) In etwa 20 Sätzen wird eine Reihe einfacher und nützlicher Eigenschaften vertauschbarer Untergruppen \((\mathfrak {AB} =\mathfrak {BA})\) festgestellt; z. B: Sind \(\mathfrak A\) und \(\mathfrak B\) konjugiert in ihrem Erzeugnis \(\mathfrak {AB}\), so stimmen sie überein; enthält \(\mathfrak A\) einen Normalteiler von \(\mathfrak B\), aber nicht ganz \(\mathfrak B\), so enthält \(\mathfrak A\) einen Normalteiler von \(\mathfrak {AB}\). -- Zwei Untergruppen mit teilerfremden Indices sind vertauschbar. -- Ist die Untergruppe \(\mathfrak A\) von \(\mathfrak G\) mit jeder Untergruppe von \(\mathfrak G\) vertauschbar, und besitzt keine Gruppe zwischen \(\mathfrak G\) und \(\mathfrak A\) dieselbe Eigenschaft, so ist \(\mathfrak A\) ein Normalteiler von \(\mathfrak G\). 2) Bekannte Sätze über die Darstellung des Einheitselements als Durchschnitt möglichst großer Normalteiler werden dazu benützt, um die treuen Darstellungen der Gruppe durch intransitive Permutationsgruppen zu untersuchen, insbesondere diejenigen vom kleinsten Grade. Als Anwendung ergeben sich Kriterien für Zusammengesetztheit; z. B: Ist \(\mathfrak H\) eine abelsche Untergruppe von \(\mathfrak G\) mit den Invarianten \(p^{\alpha_i}_i\), und enthält \(\mathfrak G\) eine Untergruppe, deren Index \(<\sum p_i^{\alpha_i}\) ist, so ist \(\mathfrak G\) nicht einfach. 3) Die notwendige und hinreichende Bedingung dafür, daß der Durchschnitt aller maximalen Untergruppen von \(\mathfrak G\) nur aus dem Einheitselement besteht, lautet: Der maximale nilpotente Normalteiler von \(\mathfrak G\) ist Abelsch und enthält nur Elemente von quadratfreier Ordnung, und zu jedem minimalen Abelschen Normalteiler \(\mathfrak A\) von \(\mathfrak G\) gibt es eine ``Vertretergruppe'' \(\mathfrak M\) mit \(\mathfrak {AM} =\mathfrak G\) und \(\mathfrak A\cap\mathfrak M = 1\). 4) Untersuchung von Untergruppenketten, die von der ganzen Gruppe bis zum Einheitselement absteigen. Verf. nennt zwei Ketten konform, wenn sie aus gleich vielen Gliedern bestehen und die Indices aufeinanderfolgender Untergruppen für die beiden Ketten in ihrer Gesamtheit übereinstimmen. Es gilt z. B: Zu jeder nicht mehr zu verfeinernden Kette gibt es eine konforme Kette, die die Glieder einer beliebig vorgegebenen Hauptreihe enthält. -- Die Gruppen \(\mathfrak G\), in denen je zwei nicht mehr zu verfeinernde Ketten konform sind, lassen sich auch durch jede einzelne der drei folgenden Bedingungen kennzeichnen: Ist \(\mathfrak A\subset\mathfrak B\subseteq\mathfrak G\) und ist \(\mathfrak A\) eine maximale Untergruppe von \(\mathfrak B\), so ist der Index \((\mathfrak B: \mathfrak A)\) eine Primzahl; ist \(\mathfrak H\) eine Untergruppe oder Faktorgruppe von \(\mathfrak G\), so tritt unter den Ordnungen der Untergruppen von \(\mathfrak H\) jeder Teiler der Ordnung von \(\mathfrak H\) auf; die Indices in einer Hauptreihe von \(\mathfrak G\) sind Primzahlen. 5) Über die maximalen Untergruppen einer auflösbaren Gruppe beweist Verf. u. a: Zwei derartige Untergruppen sind entweder konjugiert oder vertauschbar; sie sind dann und nur dann konjugiert, wenn in beiden genau dieselben Normalteiler von \(\mathfrak G\) enthalten sind.