Sur les cycles des substitutions. (Q2590389)

Der Ausgangspunkt dieser Arbeit ist die Frage nach der Anzahl \(P_n\) der Substitutionen \(n\)-ten Grades, deren Zyklen eine bestimmte Eigenschaft \(A\) besitzen. Über \(A\) wird folgendes vorausgesetzt: Kann man aus \(p\) der \(n\) Elemente genau \(a_p\) Zyklen \(p\)-ter Ordnung mit der Eigenschaft \(A\) bilden, so soll dies auch für irgendwelche \(p\) anderen Elemente gelten. (Die Annahme, \(A\) bedeute, daß die Ordnung der Zyklen größer als 1 ist, führt auf das \textit{Euler}sche ``problème des rencontres''). Mittels der als bekannt anzusehenden Zahlen \(a_1,\, a_2,\,\ldots\) wird die erzeugende Funktion für die Zyklen \[ a (z) = a_1\frac z{1!} + a_2 \frac{z^2}{2!} + a_3 \frac{z^3}{3!} +\cdots \tag{1} \] gebildet, ebenso aus den gesuchten Zahlen \(P_n\) die erzeugende Funktion \(P(z)\) für die Substitutionen. Aus einer einfachen Rekursionsformel folgt dann \(P'(z) = a'(z) P (z)\), also \(P_0 = 1\), \(P(z) = e^{a(z)}\) und hieraus \[ \begin{gathered} \frac{P_n}{n!}= \sum\frac1{\alpha_1!\,\alpha_2!\,\cdots\alpha_n!} \left(\frac{a_1}{1!}\right)^{\alpha_1} \left(\frac{a_2}{2!}\right)^{\alpha_2} \cdots \left(\frac{a_n}{n!}\right)^{\alpha_n} \tag{2}\\ (\alpha_1 + 2\alpha_2 + \cdots+ n\alpha_n = n). \end{gathered} \] Ist \(A\) von der Art, daß alle Zyklen \(A\)-Zyklen sind, so ist \(a_\nu = (\nu - 1)!\) für alle \(\nu\); und wenn man \(a_\nu = (\nu - 1)!\, x_\nu\) setzt, so gehen die Ausdrücke für die \(P_n\) in die Hauptcharakteristiken (\textit{I. Schur}, Vorlesungen über Darstellungstheorie, Zürich 1936; F. d. M. \(62_{\text{I}}\), 85) oder Zyklenzeiger (\textit{G. Pólya}, Acta math., Uppsala, 68 (1937), 145-254; F. d. M. \(63_{\text{I}}\), 547), die Gleichung (2) in eine von \textit{Cauchy} gegebene über. Verlangt \(A\), daß in den Zyklen die Elemente gemäß einer für alle \(n\) Elemente gegebenen Grundanordnung aufeinanderfolgen, so sind alle \(a_\nu = 1\), und es wird \(P (z) = e^{e^z-1}\). In ähnlicher Weise ergibt sich die erzeugende Funktion für die Anzahl \(P_n^{\lambda,\,\mu,\,\nu}\) der Substitutionen \(n\)-ten Grades, bei denen \(\lambda\) bzw. \(\mu\) bzw. \(\nu\) Zyklen die Eigenschaft \(A\) bzw. \(B\) bzw. \(C\) und die restlichen Zyklen die Eigenschaft \(D\) haben. Von den genannten Eigenschaften schließt dabei jede die andere aus. Die Bestimmung der erzeugenden Funktion für die Anzahl der Substitutionen, bei denen die Anzahl der \(B\)-Zyklen um eine konstante Zahl \(h\) (\(h \geqq 0\)) größer ist als diejenige der \(A\)-Zyklen, führt auf Besselsche Funktionen erster Art. Setzt man \[ e^{a(z)+xb(z)+yc(z)} =\sum_{n=0}^\infty \chi_n(x,y) \frac{z^n}{n!}, \] so gibt der Koeffizient von \(x^\lambda y^\mu\) in \(\chi_n\) die Anzahl der Substitutionen \(n\)-ten Grades an, in denen \(\lambda\) \(B\)-Zyklen, \(\mu\) \(C\)-Zyklen und der Rest \(A\)-Zyklen sind, während spezieller in \[ \frac{b^\lambda(z)}{\lambda!} e^{x\cdot a(z)} =\sum_{n=0}^\infty P_n(x)\frac{z^n}{n!} \] der Koeffizient von \(x^\mu\) in \(P_n(x)\) die Anzahl der Substitutionen \(n\)-ten Grades liefert, die aus \(\lambda\) \(B\)-Zyklen und \(\mu\) \(A\)-Zyklen bestehen. Im Falle, daß die \(A\)-Zyklen eingliedrig sind, wird \(a(z) = z\), und die \(P_n(x)\) gehen in Polynome von \textit{Appell} (Ann. sci. École norm. sup. 9 (1880), 119-144; F. d. M. 12, 342 (JFM 12.0342.*)) über. Auch Hermitesche Polynome treten in diesem Zusammenhang auf. Verf. gibt der betreffenden erzeugenden Funktion verschiedene Deutungen, wobei er den Begriff der selbstkonjugierten Permutation auf zyklische Substitutionen überträgt, und behandelt noch einige Beispiele, bei denen bestimmte Elemente ausgezeichnet sind. Dieselbe Methode gestattet auch die Lösung der eingangs erwähnten Grundfrage in dem Fall, daß nicht alle Substitutionen der symmetrischen Gruppe \(\mathfrak S_n\), sondern nur eine gegebene Auswahl derselben, z. B. die geraden oder die ungeraden oder Substitutionen der Form \(S = T^2\) usw., zugelassen werden. In Verallgemeinerung der Einteilung der Substitutionen von \(\mathfrak S_n\) in gerade und ungerade teilt er die Substitutionen von \(\mathfrak S_n\) in \(m\) Familien ein, je nachdem ihr ``Charakter'' \[ I_{a,\, b}= an + b\nu \equiv 0,\, 1,\, 2,\,\ldots,\, (m - 1)\;\text{mod}\, m \] ist (\(\nu = \text{Anzahl}\) der Zyklen; \(a\), \(b\), \(m\) feste natürliche Zahlen). Je nach der Wahl von \(a\) und \(b\) liefert dies \(m^2\) Einteilungen in je \(m\) Familien. Ist \(m\) eine Primzahl, so gibt es nur \(m\) Einteilungen. Für \(m = 3\) wird die Grundaufgabe für alle Familien gelöst. Verf. behandelt ferner auch die Frage, für welche Substitutionen die eingangs erklärte Funktion \(P (z)\) erzeugende Funktion ist, wenn sie einer Differentialgleichung \[ P''(z) = a'(z) P'(z) + b''(z) \] genügt. Die Lösung führt auf eine gewisse Einteilung der Zyklen in zwei Kategorien, welche auf einer gegebenen Grundanordnung der Elemente beruht. Die entsprechende Aufgabe für zwei Typen von ähnlich gebauten Differentialgleichungen dritter Ordnung bedingt eine ganz analoge Einteilung in drei Kategorien. Ist eine Grundanordnung der Elemente gegeben, so läßt sich aus der Zerlegung einer Substitution \(S\) in elementefremde Zyklen eindeutig eine ``sekundäre Zerlegung'' von \(S\) in folgender Weise herleiten: Jeder Zyklus wird zunächst so geschrieben, daß er mit dem niedrigsten Element beginnt; die Substitution, welche die so gewonnene Permutation der Elemente des Zyklus in die der Grundanordnung entsprechende ``monotone'' Reihenfolge überführt, liefert, nachdem sie ihrerseits in elementefremde Zyklen zerlegt wurde, die einzelnen Faktoren der sekundären Zerlegung von \(S\). Verf. bestimmt zunächst die Anzahl der Substitutionen aus \(\mathfrak S_n\), welche eine gegebene sekundäre Zerlegung besitzen, und führt dann weitere Aufgaben durch, ähnlich der Grundaufgabe und ihren Verallgemeinerungen, bei denen sich die Eigenschaften \(A,\, B,\,\ldots\) auf die sekundären Zyklen oder teils auf die primären, teils auf die sekundären Zyklen beziehen. In diesem Zusammenhang sei noch folgende Feststellung erwähnt: Einer Tabelle von sekundären Zyklen, welche die Eigenschaft \(B\) zum Ausdruck bringt, kann immer eine Tabelle von primären Zyklen, welche \(A\) zum Ausdruck bringt, so zugeordnet werden, daß die Substitutionen, deren sekundäre Zyklen alle die Eigenschaft \(B\) haben, zugleich auch Substitutionen sind, deren primäre Zyklen die Eigenschaft \(A\) haben (jedoch nicht umgekehrt!). Den Schluß bilden einige Anwendungen, besonders auf die Bestimmung der mittleren Ordnung \(\mu(n)\) bzw. \(\overline\mu(n)\) der primären bzw. sekundären Zyklen der Substitutionen von \(\mathfrak S_n\), wobei sich \(\mu(n) : \overline\mu(n) \sim \log\sqrt n\) ergibt.