Condition that a finite finite be multiply isomorphic with each of its irreducible representations. (Q2590412)

Eine Gruppe \(\mathfrak G\) besitzt dann und nur dann keine getreue irreduzible Darstellung, wenn \(\mathfrak G\) eine Untergruppe \(\mathfrak P\) von Primzahlpotenzordnung \(p^\alpha\) enthält mit folgenden Eigenschaften: (1) \(\mathfrak P\) wird erzeugt durch die minimalinvarianten Untergruppen von \(\mathfrak G\), deren Ordnungen Potenzen von \(p\) sind; (2) Jede Untergruppe von \(\mathfrak P\) vom Index \(p\) enthält einen echten Normalteiler von \(\mathfrak G\). Bisher war ein Kriterium für diese Frage in anderer Gestalt nur von \textit{K. Shoda} (J. Fac. Sci. Univ. Tokyo, I, 2 (1930), 51-72; F. d. M. \(56_{\text{I}}\), 130) aufgestellt worden.