Quasi-groups which satisfy certain generalized associative laws. (Q2590415)

Voraussetzung des Verf. ist die Annahme eines multiplikativ abgeschlossenen endlichen Systems mit eindeutiger Division durch den linken und rechten Faktor eines Produktes und dem verallgemeinerten Assoziativgesetz folgender Form: Es ist \[ a (bc) = (ab)c_1, \] wo \(c_1\) von \(b\) nicht abhängt. Ein solches System nennt Verf. Quasigruppe und bezeichnet das erwähnte Gesetz mit I. Teil 1 befaßt sich mit den Eigenschaften der Rechtseinheiten einer Quasigruppe. Wird die zum Element \(a\) gehörige Rechtseinheit mit \(e_a\) bezeichnet, so daß \[ ae_a = a \] ist, so kann I so geschrieben werden: Es sei \(f_a(c)\) durch \[ e_af_a (c) = c \] gegeben. Dann lautet I\(\,\)a: \[ (ab)c = a[bf_a(c)]. \] Es folgt u. a.: Die Rechtseinheiten bilden eine Quasiuntergruppe \(R\). Es gibt (im allgemeinen mehrere) Minimalquasiuntergruppen von \(G\), die also keine echten Quasiuntergruppen haben. Sie bestehen aus lauter Rechtseinheiten, und der Durchschnitt von zweien von ihnen ist leer. Mindestens eine dieser Minimalquasiuntergruppen ist in jeder Quasiuntergruppe enthalten. Im Teil 2 und von da ab bis auf weiteres wird außerdem das Gesetz II angenommen, das I völlig analog bei verkehrter Faktorenfolge ist. II lautet somit: Es ist \[ (ab)c = a_1(bc), \] wo \(a_1\) von \(b\) nicht abhängt. Unter dieser Voraussetzung gilt: Ist \(H\) eine Quasiuntergruppe von \(G\), so gibt ein Linkskomplex \(aH\) mit beliebigem \(a\) aus \(G\), wie immer das Element \(h\) aus \(H\) gewählt werde, denselben Komplex \((ah)H\). Genau dann, wenn \(e_a\) in \(H\) liegt, ist \((ah)H = aH\). Weiter folgt \[ (aH)(bH) \supseteq (ab)H. \] Ist die Komplexgleichung \[ Hf_a(bH) = bf_a(H) \] für alle \(a\) und \(b\) aus \(G\) erfüllt, so nennt Verf. die Quasiuntergruppe \(H\) einen Quasilinksnormalteiler, wofür kurz Quasinormalteiler gesagt werde, da unter den Voraussetzungen I und II für Quasirechtsnormalteiler analoge Sätze gelten. Dann ist \[ (aH)(bH) = (ab)H \] und auch, was im allgemeinen nicht dasselbe ist: \[ [(ah)H] [(bh)H] = [(ab)h]H. \] Teil 3 behandelt Sätze über Quasinormalteiler. Ist \(R\), die Quasiuntergruppe der Rechtseinheiten, in \(H\) enthalten, so kann man analog wie bei Normalteilern einer Gruppe von einer Quasifaktorgruppe \(G/H\) sprechen. Zwei Quasinormalteiler \(H\), \(K\) mit nicht leerem Durchschnitt \((H, K)\) sind miteinander vertauschbar, d. h. es gilt \[ HK = KH. \] Die Vereinigung zweier Quasiuntergruppen \(H\) und \(K\), d. h. die kleinste \(H\) und \(K\) umfassende Quasiuntergruppe, heiße \([H, K]\). Ist dann \(H\) Quasinormalteiler von \([H, K]\), weiter \(H\) mit \(K\) vertauschbar, so ist \((H, K)\) Quasinormalteiler von \(K\), und es gilt das Analogon zum Reduktionsprinzip der Gruppentheorie \[ [H,K]/H \simeq H/(H,K). \] Es ergibt sich ein Analogon zum Satze von \textit{Jordan-Hölder}. Teil 4 behandelt Quasigruppen mit dem Gesetz \[ (ab) (cd) = (ac) (bd). \] Bei ihnen ist offenbar I und II erfüllt. Verf. nennt sie abelsch, obwohl sie im allgemeinen nicht kommutativ sind. Wird ein Produkt von \(n\) gleichen Faktoren \(a\) als ``Potenz'' bezeichnet, etwa mit \(\varPhi_n(a)\), so erfüllen diese Potenzen Gesetze, die den geläufigen ähnlich sind. Es werde bemerkt, daß es im allgemeinen schon zwei dritte Potenzen von \(a\) gibt nämlich \((aa)a\) und \(a (aa)\). Es gilt \[ \varPhi_n (ab) = \varPhi_n (a)\varPhi_n (b),\quad \varPsi_m[\varPhi_n (a)] = \varPhi_n[\varPsi_m (a)]. \] Alle Quasiuntergruppen sind Quasinormalteiler. Die Faktorquasiuntergruppe \(G/R\) (siehe \(R\) oben) hat eine einzige Rechtseinheit \(R\). Jeder Rechtskomplex von \(R\) ist auch Linkskomplex und umgekehrt. Die Abbildung \(aR\to Ra\) ist ein Automorphismus von \(G/R\) und bedeutet Multiplikation aller Elemente dieser Faktorgruppe mit ihrer Rechtseinheit \(R\) als linkem Faktor. Ist \(aR = Ra\) für alle \(a\), dann ist \(G/R\) eine Gruppe. In Teil 5 werden die Quasigruppen \(G\) mit einer einzigen Rechtseinheit \(e\) behandelt. \(c^s = ec\) ist ein Automorphismus von \(G\), denn es gilt \[ (ab)^s = a^sb^s. \] Weiter brauchen I und I\(\,\)a nicht vorausgesetzt zu werden, sie sind in der Form \[ \begin{aligned} a(bc) = (ab)c^s,&\\ (ab)c = a(bc^{s^{-1}})& \end{aligned} \] von selbst erfüllt (S. 518, Z. 11 v. o. steht in der zweiten Formel irrtümlich \(a (bc^{s-1})\) statt \(a(bc^{s^{-1}})\)). Werden \(a^{-1}\) und \(a_{-1}\) durch \[ aa^{-1} = a_{-1} a = e \] definiert, so lösen sich die Gleichungen \(xa = b\), \(ay = b\) durch \[ x=b(a^{-1})^s,\quad y=(a_{-1}b)^{s^{-2}} \] (die erste Formel ist S. 518, Z. 14 v. u. mit einem Druckfehler wiedergegeben). Die Definition für einen Quasinormalteiler wird hier einfach \[ a^sH = Ha \] für jedes \(a\) von \(G\). Das Reduktionsprinzip und der Satz von Jordan-Hölder gelten genau wie bei Gruppen. Bei Gültigkeit von I und Bestehen einer einzigen Rechtseinheit genügt die Beziehung (für alle \(b\), \(c\) aus \(G\)) \[ bc^s = b^sc \] dazu, daß die Quasigruppe \(G\) abelsch ist. Weiter folgt: Ist \(\varPhi\) eine feste Potenz, \(G_\varPhi\) die Menge aller Elemente mit \[ \varPhi(x) = e, \] so ist \(G_\varPhi\) Quasiuntergruppe, ebenso auch \(G^{(\varPhi)}\) die Menge aller Potenzen \(\varPhi (x)\), wo \(x\) alle Elemente von \(G\) durchläuft. Es ist dann \[ G/G_\varPhi \simeq G^{(\varPhi)}. \] Zuletzt erwähnt Verf. noch einige Beziehungen seiner Ergebnisse mit denen von \textit{A. Suschkewitsch} (Trans. Amer. math. Soc. 31 (1929), 204-214; F. d. M. \(55_{\text{I}}\), 85-86). In Teil 6 gibt Verf. einige Beispiele.