Die Theorie der Verbände. (Q2590426)

Die Verbandstheorie ist ein neuer Zweig der Mathematik, der für diese Wissenschaft eine ähnliche Bedeutung wie die Gruppentheorie hat. Obwohl die Booleschen Verbände seit langem in der Logik betrachtet wurden, rührt die moderne Verbandstheorie von \textit{Dedekind} her. Vorliegende Arbeit gibt eine Übersicht über die wichtigsten bisherigen Resultate auf diesem Gebiete. Nach der Erklärung der Grundbegriffe und der Axiome im Teil A werden dort die wichtigsten Arten von Verbänden charakterisiert, nämlich die modularen, distributiven, komplementären und Booleschen. In B werden die modularen Verbände, die durch das Axiom \((a\subseteq c) \to \bigl(a \cap (b \cup c) = a \cup (b \cap c)\bigr)\) charakterisiert sind, genauer besprochen. Es werden hier Zerlegungssätze aufgestellt, die als Sonderfälle den Satz von Jordan-Hölder über die Hauptreihen einer Gruppe und den Satz von Remak-Schmidt über die zentrale Isomorphie zweier direkter Zerlegungen einer Gruppe enthalten. In C werden die distributiven Verbände, durch das Axiom \(a \cup (b \cap c) = (a \cup b) \cap (a \cup c)\) charakterisiert, und die Booleschen behandelt. Ist \(A\) ein distributiver Verband, so bilden die Ideale von \(A\) auch einen solchen. Ist \(A\) distributiv und endlich, so lassen sich sämtliche Primideale angeben. Die Booleschen Verbände können als Ringe mit Addition mod 2 aufgefaßt werden. Über Resultate von \textit{Stone} wird referiert. Die Darstellung mittels Mengenverbänden wird erklärt; ebenso die Beziehungen zur Topologie und Logik, insbesondere zu den deduktiven Systemen Tarskis. Die Untersuchungen \textit{Tarski}s sind von \textit{Stone} auf die intuitionistische Logik ausgedehnt worden (Časopis Mat. Fysik, Praha, 67 (1937), 1-25; F. d. M. \(63_{\text{II}}\), 830). Der letzte Teil D handelt von den komplementären modularen Verbänden. Einige davon sind mit den projektiven Geometrien gleichbedeutend; ihre charakteristischen Axiome werden angegeben. Interessant sind hier die von \textit{J. von Neumann} aufgestellten kontinuierlich-dimensionalen Geometrien (Proc. nat. Acad. Sci. USA 22 (1936), 92-100; F. d. M. \(62_{\text{I}}\), 648). Ebenso wie man über die Struktur der distributiven Verbände durch ihre Darstellung als Mengenverbände Aufschluß erhält, bekommt man wichtige Einsichten über die komplementären modularen Verbände durch Übergang zu gewissen Idealverbänden, den regulären Ringen.