The algebra of lattice functions. (Q2590444)

Die ``Dirichletsche Multiplikation'' \[ \pi(n)=\sum_{d\delta=n} f(d)g(\delta) \tag{1} \] der (komplexwertigen) zahlentheoretischen Funktionen läßt sich noch nicht auf Funktionen über einem beliebigen ``halbgeordneten'', d. h. mit einer Teilrelation versehenen Bereich, etwa einem Verband, verallgemeinern. Diese Schwierigkeit bewältigt Verf. dadurch, daß er von jedem solchen Bereich \(\mathfrak S\) zum Bereich \(\sum\) der ``Quotienten'' \(u/v\) übergeht, wo \(u\supset v\) ist und \(u/v\) die Menge der \(x\) mit \(u\supset x\supset v\) bezeichnet. Gibt es zwischen je zwei Elementen von \(\mathfrak S\) nur endlich viele weitere, so kann man für die in \(\sum\) erklärten Funktionen, deren Werte einem gegebenen Körper von der Charakteristik 0 angehören, eine ganz entsprechende Dirichletsche Multiplikation einführen: Bedeutet \(f_{uv}\) allgemein den Wert der Funktion \(f\) für den Quotienten \(u/v\), so erkläre man als Produkt der Funktionen \(f\) und \(g\) die durch \[ \pi_{uv} = \sum_{u\supset x\supset v} f_{ux}g_{xv} \] bestimmte Funktion \(\pi\). Setzt man noch \[ u/v \cdot v/w = u/w, \] so ist das auch formal die Produktdefinition (1). Die Addition von \(f\) und \(g\) wird in der gewöhnlichen Weise erklärt. Es wird nun die Theorie dieser beiden Verknüpfungen entwickelt. Insbesondere bilden alle jene in \(\sum\) erklärten Funktionen \(f\) einen Ring mit Einselement, und diejenigen unter ihnen, die ``eigentlich'' sind, d. h. bei Multiplikation mit einer passenden zweiten Funktion die Funktion \(\delta\) mit \[ \delta_{uv}=\begin{cases} 1\;\text{für}\;u= v,\\ 0\;\text{für}\;u\neq v\end{cases} \] (das Einselement des Ringes) liefern, bilden eine multiplikative Gruppe und lassen sich auch als diejenigen \(f\) kennzeichnen, für die stets \(f_{uu} \neq 0\) ist.