A theorem on matrices over a commutative ring. (Q2590451)

Ein System \(A_1,\, A_2,\,\ldots,\, A_m\) von Matrizen des Grades \(n\) aus Elementen eines kommutativen Ringes mit Einheit besitzt die Eigenschaft \(P\), wenn für jedes Polynom \(f (A_1, A_2, \ldots, A_m)\) die charakteristischen Wurzeln von der Gestalt \(f(\lambda_1,\lambda_2,\ldots, \lambda_m)\) sind, mit charakteristischen Wurzeln \(\lambda_\mu\) der Matrizen \(A_\mu\). Verf. zeigt, daß ein System \(A_1,\,A_2,\,\ldots,\, A_m\) die Eigenschaft \(P\) dann und nur dann besitzt, wenn die Kommutatoren \(A_\mu A_\nu - A_\nu A_\mu\) sämtlich dem Radikal des Ringes aller Polynome \(f(A_1,A_2,\ldots,A_m)\) angehören, wenn also sämtliche Elemente des von den Kommutatoren erzeugten zweiseitigen Ideals dieses Ringes nilpotent sind.