On Frobeniusean algebras. I. (Q2590471)

Eine ein Einselement besitzende Algebra \(A\) von endlichem Rang über einem Körper \(F\) heißt Frobeniusalgebra, wenn die rechte und linke reguläre Darstellung von \(A\), \(R\) und \(S\), einander äquivalent sind. Stimmt die Gesamtheit der verschiedenen direkt\-unzerlegbaren Bestandteile von \(R\) mit derjenigen von \(S\) überein, so heißt \(A\) quasi-Frobeniusalgebra. Verf. beweist: Bedeutet für ein Teilsystem \(B\) von Elementen aus \(A\) \(r(B)\) bzw. \(l (B)\) die Menge aller \(y\) aus \(A\), für die \(By = 0\) bzw. \(yB=0\), so ist \(A\) dann und nur dann Frobeniusalgebra, wenn für jedes Rechtsideal \(\mathfrak r\) und jedes Linksideal \(\mathfrak l\) in \(A\) gilt \[ \begin{gathered} l \big(r(\mathfrak l)\big) = \mathfrak l,\quad r \big(l(\mathfrak r)\big) = \mathfrak r, \tag{1}\\ (\mathfrak l : F) + \big(r(\mathfrak l) :F\big) = (\mathfrak r:F)+ \big(l(\mathfrak r) : F\big) = (A : F). \tag{2}\\ \end{gathered} \] Das Bestehen von (1) allein ist notwendig und hinreichend dafür, daß \(A\) quasi-Fro\-beniusalgebra ist. Verschiedene weitere Aussagen werden auf Grund dieses Hauptsatzes hergeleitet, z. B.: Ist \(\mathfrak z\) ein zweiseitiges Ideal in einer Frobeniusalgebra \(A\), dann ist die Restklassenalgebra \(A/\mathfrak z\) dann und nur dann Frobeniusalgebra, wenn \(r (\mathfrak z)\) ein Hauptideal ist. Zum Schluß untersucht Verf. gewisse Verfeinerungen, die sich für sogenannte sym\-metrische Algebren ergeben, bei denen \(R\) speziell durch eine (reguläre) symmetrische Matrix in \(S\) transformiert werden kann.