Cayley numbers and normal simple Lie algebras of type \(G\). (Q2590475)

Der distributive Ring mit der Basis 1, \(e_1\),\dots, \(e_7\) über dem algebraisch abge\-schlossenen Körper \(\varOmega\) und mit der Multiplikationsregel: \(1\cdot y= y\cdot 1 = y\); \(e_i\cdot e_{i+1}=e_{i+3}\), \(e_{i+1}\cdot e_{i+3}=e_{i}\), \(e_{i+3}\cdot e_{i}=e_{i+1}\), wobei \(i\) modulo 7 zu reduzieren ist; \(e_i^2=-1\); \(e_j\cdot e_k=-e_k\cdot e_j\), wenn \(j\neq k\), bildet die alternative Algebra \(\mathfrak C\) der Cayleyzahilen. Die Derivationen von \(\mathfrak C\) (vgl. Trans. Amer. math. Soc. 42 (1937), 206-224; F. d. M. \(63_{\text{II}}\), 873) bilden eine einfache Lie-Algebra \(\mathfrak D\) mit vierzehn Basiselementen, wobei die Charak\-teristik von \(\varOmega\) als von 2 verschieden vorausgesetzt wird. Unter derselben Voraus\-setzung heißt eine Algebra über dem beliebigen Körper \(k\) Cayley-Algebra, bzw. Lie-Algebra vom Typus \(G\), wenn sie bei Erweiterung von \(k\) zum algebraisch abgeschlossenen Oberkörper \(\varOmega\) in \(\mathfrak C\) bzw. in \(\mathfrak D\) übergeht. Das Hauptresultat der Arbeit lautet: Bei Charak\-teristik 0 wird jede Lie-Algebra vom Typus \(G\) als Derivationsalgebra einer eindeutig bestimmten Cayley-Algebra erhalten. Insbesondere gibt es nach \textit{M. Zorn} (Abh. math. Sem. Hamburgische Univ. 9 (1933), 395-402; F. d. M. \(59_{\text{I}}\), 154) über algebraischen Zahlkörpern genau \(2^{r_1}\) Cayley-Algebren, mithin ebensoviele Lie-Algebren vom Typus \(G\) (\(r_1=\) Anzahl der reellen Bewertungen).