Abstrakte Begründung der multiplikativen Idealtheorie. (Q2590484)

Verf. zeigt, daß die von \textit{Prüfer} (J. reine angew. Math. 168 (1932), 1-36; F. d. M. \(58_{\text{I}}\), 147) gegebenen Bedingungen 1 bis 4 auch in Halbgruppen zur Definition ver\-schiedener Systeme von Idealen verwendet werden können. Unter einer Halbgruppe versteht man ein System, das gegenüber einer assoziativen und kommutativen Multi\-plikation abgeschlossen ist, weiter ein Einselement enthält und die Eigenschaft ``Aus \(ac=bc\) folgt \(a=b\)'' hat. Die fünfte Prüfersche Bedingung (Moduleigenschaft der Ideale) fällt hier natürlich weg. Die Halbgruppe \(\mathfrak g\) werde in ihre Quotientengruppe \(\mathfrak G\) eingebettet, und die Ideale bestehen im allgemeinen aus Elementen von \(\mathfrak G\). Elemente von \(\mathfrak g\) heißen ganz. \(\mathfrak a^{-1}\) heißt für eine beliebige Menge \(\mathfrak a\) von Elementen aus \(\mathfrak G\) die (eventuell leere) Menge aller Elemente aus \(\mathfrak G\), mit denen multipliziert, jedes Element von \(\mathfrak a\) zu einem von \(\mathfrak g\) wird, \(\mathfrak o\) sei die leere Menge. Die Prüferschen Bedingungen gestatten dann, über jeder Menge mit \(\mathfrak a^{-1}\neq\mathfrak o\) ein Ideal \(\mathfrak a_r\) aufzubauen, und zwar in verschiedener Art. Als Maximalsystem ergibt sich \(\mathfrak a_v=(\mathfrak a^{-1})^{-1}\), entsprechend den Prüferschen \(v\)-Idealen, als Minimalidealsystem hingegen \(\mathfrak a_s=\mathfrak a\mathfrak g\). Die \(s\)-Ideale haben im Integritäts\-bereich kein Analogon. Division der Ideale und der Primidealbegriff ist dagegen diesen völlig analog. Gilt in einem Idealsystem \(\mathfrak c_r : \mathfrak c_r = 1\) für jedes endliche \(\mathfrak c_r\), so nennt Verf. die Halbgruppe \(r\)-abgeschlossen. Analog wird \(v\)-abgeschlossen, \(s\)-abgeschlossen definiert. Ist in diesem Falle \(\mathfrak a\) eine endliche Untermenge von \(\mathfrak G\), ist weiter \(\mathfrak a_{r_a}\) die Menge der \(a\) mit \[ a\mathfrak c_r\subseteq\mathfrak a_r\mathfrak c_r, \] so bilden die so definierten \(r_a\)-Ideale eine Halbgruppe oder, wie Verf. sagt, in \(\mathfrak g\) gilt der \(r_a\)-Halbgruppensatz. Es folgt unter anderem: Heißt \(r\)-Multiplikationshalbgruppe eine Halbgruppe mit \[ (\mathfrak a\mathfrak a^{-1})_r=1 \] für alle zur Halbgruppe gehörigen \(r\)-Ideale \(\mathfrak a\), die Verf. dann ``\(r\)-umkehrbar'' nennt, analog \(v\)-Mtütiplikationshalbgruppe usw., so ist jede \(v\)-abgeschlossene Halbgruppe \(v\)-Multiplikationshalbgruppe. Eine Halbgruppe ist genau dann \(r\)-Multiplikationshalb\-gruppe, wenn sie \(v\)-abgeschlossen und jedes endliche \(r\)-Ideal \(v\)-Ideal ist. Genau dann, wenn die Halbgruppe \(s\)-abgeschlossen ist, gibt es Systeme, für die der Halbgruppensatz gilt. Ist das \(s\)-System eine Halbgruppe, so ist in \(\mathfrak G\) von zwei Elementen \(ab^{-1}\) und \(ba^{-1}\) mindestens eines ganz. \(\mathfrak g\) heißt dann lineare Halbgruppe. \S~2 bespricht die endlichartigen Ideale. Seien die \(\mathfrak e\) endliche Mengen aus \(\mathfrak G\), \(\mathfrak a\) eine beliebige Menge mit \(\mathfrak a^{-1}\neq\mathfrak o\). Die Vereinigungsmenge aller \(\mathfrak e_r\) mit \(\mathfrak e\subseteq\mathfrak a\) bildet dann ein Ideal \(\mathfrak a_{r_s}\), ebenso der Durchschnitt aller Ideale \(\mathfrak e_r\) mit \(\mathfrak a\subseteq\mathfrak e_r\) er ein Ideal \(\mathfrak a_{r_v}\). Als wichtigstes neues System ergibt sich so das \(v_s\)-System, vom Verf. \(t\)-System genannt. Diese Systeme heißen totale Systeme. Endlichartig heißt \(\mathfrak a_{r_s}\), weil jedes seiner Elemente schon in einem von einer endlichen Teilmenge von \(\mathfrak a\) erzeugten \(r_s\)-Ideal liegt. Es folgt u. a.: Wenn \(\mathfrak a^{-1}\) für ein endlichartiges Ideal \(\mathfrak a\) existiert, ist \(\mathfrak a\) endlich. Zu jedem Ideal \(\mathfrak a\subset1\) eines endlichartigen Systems gibt es ein Primideal \(\mathfrak p\) mit \(\mathfrak a\subseteq\mathfrak p\subset1\). Es werden noch einige Sätze abgeleitet, die den Zusammenhang mit dem Zerlegungs\-satz in Primideale (Z. P. I.) herstellen. \S~3 behandelt vollständige Halbgruppen, d. h. solche, die mit zwei Elementen stets ihren größten gemeinsamen Teiler enthalten. Die Quotientenhalbgruppe nach einem \(t\)-Primideal ist dann linear. \S~4 führt formelle Idealbrüche \(\dfrac{\mathfrak a}{\mathfrak b}\) ein. Das hat mit \(\mathfrak a\mathfrak b^{-1}\) im allgemeinen nichts zu tun. Die Idealbrüche mit \[ \frac{\mathfrak a}{\mathfrak b}\subseteq1, \] d. h. \(\mathfrak a\subseteq\mathfrak b\) bilden eine Halbgruppe \(\mathfrak h\). Jede lineare \(t\)-Oberhalbgruppe von \(\mathfrak h\) liefert eine lineare \(r\)-Oberhalbgruppe von \(\mathfrak g\). Jede \(r\)-abgeschlossene Halbgruppe ist Durch\-schnitt von linearen \(r\)-Oberhalbgruppen. Nachdem durch den letzten Satz der Zusammenhang mit der Bewertungs\-theorie hergestellt ist, gibt Verf. in \S~5 den Beweis des Satzes: Jede total abgeschlossene endliche Hauptordnung ist speziell.