Funktionaldeterminanten und Diskriminanten bei Polynomen in mehreren Unbestimmten. (Q2590492)

\(\mathfrak a=\big(f_1(x_1,\dots,x_n),\dots,f_m(x_1,\dots,x_n)\big)\) sei ein beliebiges Polynomideal über einem vollkommenen Körper \(K\). Es wird der ``Funktionaldeterminantensatz'' be\-wiesen: Ist \(\mathfrak p\) ein minimales Primoberideal von \(\mathfrak a\) von der Dimension \(r\) mit der zuge\-hörigen isolierten Primärkomponente \(\mathfrak q\), so ist dann und nur dann \(\mathfrak q\neq\mathfrak p\), wenn alle \((n - r)\)-reihigen Determinanten der Matrix \[ \left\|\dfrac{\partial f_\mu}{\partial x_\nu}\right\|\qquad \binom{\mu=1,\dots,m}{\nu=1,\dots,n} \] in \(\mathfrak p\) enthalten sind. Dieser Satz ist als eine Verallgemeinerung des aus ihm herleitbaren ``Diskriminantensatzes'' anzusehen, daß ein System von \(n\) homogenen Gleichungen \(f_\mu = 0\) mit \(n + 1\) Unbekannten, das nur endlich viele Lösungen besitzt, dann und nur dann eine mehrfache Lösung hat, wenn die Diskriminante der \(n\) Formen \(f_\mu\) verschwindet. Weiterhin werden Eigenschaften der Diskriminante bewiesen, insbesondere ihre Irre\-duzibilität, falls die Koeffizienten der Formen Unbestimmte über einem Körper sind, dessen Charakteristik \(\neq2\) ist. Bei der Charakteristik 2 wird vermutet, daß die Dis\-kriminante stets das Quadrat eines irreduzibeln Polynoms ist.