Ein neues zahlentheoretisches Symbol mit Anwendungen auf die Theorie der quadratischen Zahlkörper. I. (Q2590500)

Kombination einer früheren Arbeit des Verf. über die durch 8 teilbaren Inva\-rianten der Idealklassengruppe eines quadratischen Zahlkörpers (Math. naturw. Anz. Ungar. Akad. Wiss. 54 (1936), 736-768; F. d. M. \(62_{\text{II}}\), 1155) und einer Arbeit des Ref. (J. reine angew. Math. 170 (1933), 75-82; F. d. M. \(59_{\text{I}}\), 192) führt auf folgende Defi\-nition: \(a_1\), \(a_2\) seien Diskriminanten quadratischer Körper und \(a_3\) eine quadratfreie ganze Zahl \(> 1\). \(\mathfrak a\) sei ein Ideal aus \(k = R (\sqrt{a_1})\), das je einen Primteiler einer jeden in \(a_3\) aufgehenden Primzahl und sonst keine Primideale weiter enthält. Gibt es dann in \(k\) eine Zahl \(\alpha\), so daß \(n(\alpha)=a_2\) und die Norm der Diskriminante von \(k(\sqrt\alpha)/k\); auch \(a_2\) ist, und ist dabei \(\left(\dfrac{\alpha}{\mathfrak a}\right)\) von 0 verschieden und unabhängig von der speziellen Wahl von \(\alpha\) und \(\mathfrak a\), so sei \(\{a_1,a_2,a_3\}=\left(\dfrac{\alpha}{\mathfrak a}\right)\). Über die Existenz dieses Symboles \(\{a_1,a_2,a_3\}\) kann man mit Hilfe gewöhnlicher quadratischer Restsymbole entscheiden, und dieses Symbol hat eine ganze Reihe allgemeiner Eigenschaften multiplikativer Natur. In gewissen speziellen Fällen läßt es sich durch vierte Potenzrestsymbole ausdrücken. Den Zusammenhang mit den durch 8 teilbaren Invarianten der Klassengruppe von \(R(\sqrt{D})\) liefert der folgende Satz: Eine \(D\)-Zerfällung \(D_1\), \(D_2\) der zweiten Art ist dann und nur dann von dritter Art, wenn für jeden positiven quadratfreien Teiler \(m\) von \(D\) das Symbol \(\{D_1, D_2, m\}\) im Falle der Existenz den Wert 1 hat. Es gelingt nun, mit Hilfe dieses Symboles zu zeigen, daß es unendlich viele quadratische Körper gibt, für die die Anzahlen der durch 2, 4, 8 teilbaren Invarianten der Klassengruppe beliebig vorgegebene Werte \(e_2\), \(e_4\), \(e_8\) mit \(e_2\geqq e_4\geqq e_8\) annehmen. Auch die Frage, ob es in \(R (\sqrt d)\) (\(d\) positiv, frei von Quadraten und von Prim\-zahlen \(\equiv 3(4)\)) Einheiten mit der Norm \(- 1\) gibt, hängt mit diesem Symbol zusammen. Solche Einheiten treten auf, wenn der nach Dirichlet einzige positive Teiler \(m\) von \(d\), für den \(m^2 x^2 -dy^2 = m\) ganzzahlig lösbar ist, gleich \(d\) ist. Der folgende Satz enthält nun alle bisher bekannten Kongruenzbedingungen über die Existenz solcher Einheiten und geht noch über sie hinaus: Für alle Zerfällungen \(D_1\), \(D_2\) der Diskriminante von \(R (\sqrt d)\) ist \(\{D_1, D_2, m\} = 1\).