Folgen von Dedekindschen Zetafunktionen. (Q2590517)

Es sei \(k\) ein algebraischer Zahlkörper unendlichen Grades mit der Eigenschaft, daß jedes Primideal \(\mathfrak p\) von \(k\) endliche Ordnung \(e\) und endlichen Grad \(f\) hat. Ist dann \(k_i\) irgendeine aufsteigende Folge algebraischer Zahlkörper endlicher Grade \(n_i\) mit \({\lim\limits_{i\to\infty}}k_i=k\), und bezeichnet \(\zeta_i(s)\) die Dedekindsche Zetafunktion von \(k_i\), so konvergiert die Folge \(\root n_i\of{\zeta_i(s)}\) gegen eine für \(\Re(s)>1\) analytische nicht verschwindende Grenz\-funktion \(\mathbf Z(s)\): \[ {\lim\limits_{i\to\infty}}\root n_i\of{\zeta_i(s)}=\mathbf Z(s). \] Insbesondere hat das Kompositum \(k\) aller zyklischen Körper eines festen Primzahl\-grades \(q\) die vorausgesetzte Eigenschaft. Für \(q\neq2\) ist \(e = q\), \(f= q\), wenn \(\mathfrak p\) Teiler einer Primzahl \(p=q\) oder \(p\equiv 1\) mod~\(q\) ist, und \(e=1\), \(f = q\) sonst. Für \(q = 2\) ist \(e = 4\), \(f = 2\), wenn \(\mathfrak p\) Teiler von \(p = 2\) ist, und \(e = 2\), \(f = 2\) sonst. Daraus ergibt sich \[ \begin{alignedat}{2} \mathbf Z(s)&={\root q^2\of{{\prod\limits_{\substack{ p=q\\p\equiv 1\bmod q}}} \left(1-\dfrac{1}{p^{qs}}\right)^{q-1}\cdot\zeta(qs)^q}}&&\quad\text{ für }q\neq2,\\ \mathbf Z(s)&={\root s\of{\left(1-\dfrac{1}{2^{2s}}\right)\cdot\zeta(2s)^2}}&&\quad \text{ für }q=2. \end{alignedat} \]