A remark on normal extensions. (Q2590528)

Es sei \(k\) ein algebraischer Funktionenkörper einer Unbestimmten über dem Konstantenkörper \(\varOmega\) der Charakteristik \(p\) (\(= 0\) oder Primzahl). Sei erstens \(\varOmega\) alge\-braisch-abgeschlossen. Dann gibt es zu jeder endlichen Gruppe \(\mathfrak G\) von nicht durch \(p\) teilbarer Ordnung, deren Hauptreihe lauter zyklische Faktorgruppen hat, unendlich viele normale algebraische Erweiterungen \(K/k\) mit Galoisgruppen \(\mathfrak G\). Ist speziell \(\mathfrak G\) von Primzahlpotenzordnung \(l^m(l\neq p)\), und ist \(n\) die kleinstmögliche Erzeugendenzahl von \(\mathfrak G\), so kann man dabei die Verzweigungsstellen \(\mathfrak p_1\),\dots, \(\mathfrak p_r\) von \(K/k\) willkürlich vorgeben, wenn nur ihre Anzahl \(r\geqq n - \tau (l) +1\) ist; dabei bezeichnet \(\tau(l)\) die Anzahl der unabhängigen Divisorenklassen der Ordnung \(l\) von \(k\). Sei zweitens \(\varOmega\) endlich mit \(q\) Elementen. Unter der gleichen Voraussetzung über \(\mathfrak G\) wie zuletzt gibt es dann eine normale algebraische Erweiterung \(K/k\) mit Galoisgruppe \(\mathfrak G\), die genau an \(n\) vorge\-gebenen Stellen \(\mathfrak p_1\),\dots, \(\mathfrak p_n\) verzweigt ist, wenn nur die Restklassenkörper von \(\mathfrak p_1\),\dots, \(\mathfrak p_n\) die \(l^m\)-ten Einheitswurzeln enthalten. Sei drittens wieder \(\varOmega\) algebraisch-abgeschlossen. Im Anschluß an eine Arbeit von \textit{Witt} (J. reine angew. Math. 174 (1936), 237-245; F. d. M. \(62_{\text{I}}\), 110) wird bewiesen, daß es zu jeder Gruppe \(\mathfrak G\) der Ordnung \(p^m\) unendlich viele normale algebraische Erweiterungen \(K/k\) mit Galoisgruppe \(\mathfrak G\) gibt, die nur an einer vorgegebenen Stelle \(\mathfrak p\) verzweigt sind.