Introduction to number theory. (Q2590534)

Seitdem die klassischen ``Vorlesungen über Zahlentheorie'' von \textit{Dirichlet} ver\-griffen und nicht mehr neu aufgelegt worden sind, fehlte es im deutschen mathematischen Schrifttum sehr an einem Lehrbuche über die elementare Zahlentheorie. Während die im Jahre 1935 erschienene ``Einführung in die Zahlentheorie'' von \textit{H. W. E. Jung} (JFM 61.0128.06) sich ganz auf die Anfangsgründe beschränkt, wird die Lücke nun durch das vorliegende Bändchen, das auf dem kleinen Raum von \(8\frac12\) Bogen den ge\-samten herkömmlichen Stoff der vierstündigen Vorlesung über elementare Zahlentheorie und reichliches Beispiel- und Übungsmaterial darbietet, in der glücklichsten Form geschlossen. Die Reichhaltigkeit des Inhalts ist einerseits der vorbildlichen, keinerlei Einbuße an Klarheit bedeutenden Knappheit des Ausdrucks, andererseits dem Umstande zu verdanken, daß Verf. sich durchweg um die einfachste und kürzeste Beweisführung und Darstellung bemüht hat. Dabei werden im ersten Kapitel auch die für den Aufbau der Zahlentheorie erforderlichen mengentheoretischen Eigenschaften der natürlichen Zahlenreihe hergeleitet, insbesondere die Wohlordnung und die vollständige Induktion, indem folgende Eigenschaften der natürlichen Zahlenreihe \(\mathbb Z\) als Axiome zugrundegelegt werden: \(\mathbb Z\) ist eine geordnete Menge mit einem ersten Element 0, in der jedes Element ein unmittelbar folgendes und jeder echte Abschnitt ein letztes Element besitzt. Das bekannte große Geschick des Verf. im Zahlenrechnen bewährt sich in den durchge\-rechneten Zahlenbeispielen, die überall in den Text eingestreut sind, und besonders im letzten Abschnitt über algorithmisches Rechnen. Darunter versteht Verf. eine Rechen\-art, bei der eine ganze Zahl durch Angabe eines Intervalls, das sie enthalten soll, ver\-bunden mit Kongruenzen, denen sie genügen soll, bestimmt wird. Auf die vielen bemerkenswerten Einzelheiten der Darstellung einzugehen, ist im Rahmen einer kurzen Besprechung unmöglich. Inhaltsverzeichnis: I. \textit{Die Arithmetik der natürlichen Zahlen}: Einleitung. Die natürliche Zahlenreihe. Addition und Multiplikation. Teilbarkeit, die unendliche Folge der Primzahlen. Beweis der eindeutigen Zerlegung in Primfaktoren nach Zermelo, Division mit Rest, Beweis der eindeutigen Zerlegung nach Klappauf. II. \textit{Teilbarkeitseigenschaften}: Der Ring der ganzen Zahlen, Moduln, Vielfachsummen. Kleinstes gemeinsames Vielfaches, größter gemeinsamer Teiler, Euklidischer Algorithmus Teilerfremdheit, klassischer Beweis des Fundamentalsatzes. Primzahlverteilung, Zahlentheoretische, summatorische, distributive Funktion. Die Möbiussche und die Eulersche Funktion. III. \textit{Kongruenzen}: Rechnen mit Kongruenzen, der Rest\-klassenring. Kongruenzdivision, Bruchdarstellung, Restklassenkörper. Ein Satz von Thue, Wilsonscher Satz. Simultane Kongruenzen. Algebraische Kongruenzen Lösungsanzahl. Der Fermatsche Satz. Primitivwurzeln, Restklassengruppe. Potenz\-reste. Quadratsummendarstellung. IV. \textit{Quadratische Reste}: Zurückführung der quadratischen Kongruenz. Eulersches Kriterium, Legendre-Symbol. Gaußsches Lemma, erweitertes Legendre-Symbol. Die zweite Hauptfrage. Das quadratische Reziprozitätsgesetz, quadratischer Restalgorithmus. Der dritte Gaußsche Beweis. Anwendungen: biquadratische und kubische Reste. V. \textit{Quadratische Formen}: Darstellbarkeit, Diskriminante. Äquivalenz der Formen. Reduktion der definiten Formen, Komposition, Geschlechter. Reduktion der indefiniten Formen. Automorphe Substitutionen, die Pellsche Gleichung. VI. \textit{Algorithmisches Rechnen}: Allgemeines, Prüfung rationaler Rechnungen. Lösung simultaner Auswahlkongruenzen. Primzahl\-tafeln, Meisselsche Primzahlzählung. Primprüfung und -zerlegung durch Quadrat\-summen. Index- und Restcharaktertafeln. Auflösung der reinen Kongruenz. Andere algebraische Kongruenzen. Sach- und Namenverzeichnis.