Certain congruences involving the Bernoulli numbers. (Q2590552)

Die \textit{Bernoulli}schen Zahlen sind rekursiv definiert durch die symbolische Potenz \((b+1)^n=b_n\) (\(n>1\)), wobei die linke Seite dieser Beziehung nach dem binomischen Satz zu entwickeln und \(b_k\) anstelle von \(b^k\) zu setzen ist. Nach \textit{Kummer} (J. reine angew. Math. 41 (1851), 368-372) gilt für eine ungerade Primzahl \(p\) die Kongruenz \[ h^n(h^{p-1}-1)^j\equiv 0\hskip-0.5em\pmod{p^j} \] für \(n - 1\geqq j\), \(n\not\equiv 0\;\;(\text{mod.}\;(p-1))\); dabei ist die linke Seite nach dem binomischen Satz zu entwickeln und alsdann \(h^t\) durch \(\dfrac{b_t}t\) zu ersetzen. Die Bedingung \(n\not\equiv 0\pmod{(p-1)}\) ist für diese Beziehung notwendig. \textit{N. Nielsen} gibt in seinem ``Traité élémentaire des nombres de Bernoulli'' [(Gauthier-Villars Paris) (1923; JFM 50.0170.04 and JFM 49.0099.03)] auf S. 277-278 eine den Fall \(n\equiv 0\pmod{(p-1)}\) betreffende Ergänzung zur Kummerschen Kongruenz, allerdings nur mod~\(p\), d. h. für \(j= 1\). In der vorliegenden Arbeit beweist Verf. -- im wesentlichen mit Hilfe des Haupt\-satzes einer früheren Note (\textit{Vandiver}, Note on a certain ring-congruence, Bull. Amer. math. Soc. 43 (1937), 418-423; F. d. M. \(63_{\text{I}}\), 106) -- den folgenden Ergänzungssatz zur Kummerschen Kongruenz: Ist \(p\) eine ungerade Primzahl, so ist für \(a > 0\), \(j > 0\), \(a + j < p - 1\) \[ b^{a(p-1)}(b^{p-1}-1)^f\equiv 0\hskip-0.5em\pmod{p^{j-1}}; \] dabei ist wieder die linke Seite nach dem binomischen Satz zu entwickeln und \(b^k\) durch \(b_k\) zu ersetzen.