Nuova dimostrazione di un teorema sui numeri primi. (Q2590557)

Verf. gibt einen neuen Beweis des folgenden Satzes über Mersennesche Zahlen: Ist \(p > 1\) eine ungerade Primzahl der Form \(4k + 3\), und ist \(2p + 1\) ebenfalls eine Prim\-zahl, so ist \(2p + 1|2^p- 1\), indem nämlich der allgemeinere Satz bewiesen wird: Ist \(p > 0\) eine beliebige ungerade Zahl und ist \(2p +1\) eine Primzahl, so gilt \(2p + 1|2^p- (-1)^{\tfrac{p+1}2}\), woraus der obige Satz offenbar sofort folgt. Der Beweis verläuft elementar: Mit Hilfe der Zerlegung \((2p)! = 2^pp! 1\cdot3\cdot5\cdots(2p -1)\) ergibt sich durch einfache Umformung \(2^p =\dfrac{2p(2p-1)\cdots(p+1)}{1\cdot3\cdot5\cdots(2p-1)}= \dfrac{2p(2p-2)\cdots(p+1)}{1\cdot3\cdot5\cdots p}\); nach Multiplikation der \(p\) Kongruenzen \(2p- 2\lambda\equiv- (2\lambda + 1)\pmod{2p + 1}\), \(0\leqq\lambda\leqq\dfrac{p-1}2\), findet man unschwer \(2^p\equiv (-1)^{\tfrac{p+1}2} \pmod{2p+1}\), w. z. b. w.