Sulla risolvente della \(\sum\limits_{i=1}^n\sqrt{a_i}=0\) sotto forma di determinante. (Q2590589)

Um rationale Lösungen von \(\sum\limits_{i=1}^n\sqrt{a_i}=0\) zu finden, setze man \(a_i=x_i^2\) und multipliziere die Gleichung nacheinander mit allen \(\dbinom{n}{2\nu}\) möglichen Produkten \(x_{i_1}x_{i_2}\cdots x_{i_{2\nu}}\) \(\left(\nu=1,2,\ldots,\left[\dfrac n2\right]\right)\). Das liefert zusammen mit der Ausgangsgleichung \(2^{n-1}\) Gleichungen für die \(2^{n-1}\) Größen \(x_{i_1}x_{i_2}\cdots x_{i_{2\mu-1}}\) \(\left(\mu=1,2,\ldots, \left[\dfrac{n+1}2\right]\right)\). Die Koeffizienten haben die Werte 0, 1 oder \(a_i\). Die Koeffizientendeterminante dieses Gleichungssystems gleich 0 gesetzt, ergibt eine rationale Beziehung zwischen den \(a_i\). Z.~B. erhält man für \(n=3\) \[ \begin{vmatrix} 1&1&1&0\\a_2&a_1&0&1\\a_3&0&a_1&1\\0&a_3&a_2&1 \end{vmatrix} =0. \] Vgl. \textit{Cayley}, Cambridge and Dublin Math. J. 8 (1853), 97-101 = Coll. Math. Papers II, 40-44.