On Waring's problem. VIII: With polynomial summands. IX: On universal Waring's problem with powers of primes. (Q2590610)

In VIII wird zu einem Polynom \(f(x)\) mit rationalen Koeffizienten die kleinste Zahl \(s\) abgeschätzt, für die jede große ganze Zahl, die den trivialen Teiler aller durch \(f(x)\) darstellbaren ganzen Zahlen enthält, die Summe von höchstens \(s\) Summanden von der Gestalt \(f(x)\) mit ganzen \(x\) wird. Sie heiße \(G(f)\). Das aus \(f(x)\) durch Multiplikation mit dem Hauptnenner der Koeffizienten entstehende Polynom und seine Ableitungen werden dann auf ihre identischen Kongruenzverhältnisse nach Primzahlpotenzmoduln untersucht, und hieraus ergibt sich für \(G(f)\) eine Abschätzung, die in erster Annäherung auf die entsprechende Vinogradoffsche Schranke beim Waringschen Problem \((\sim6n\log n)\) hinauskommt. -- In IX wird bewiesen: Ist \(n\) eine natürliche Zahl, \(N=e^{\frac{(1,6)^n}6}\cdot31^n\) und genügen die durch \[ 3^n=l\cdot2^n+r,\qquad0<r<2^n \] bestimmten ganzen Zahlen \(l\) und \(r\) der Bedingung \[ l\leqq r\leqq 2^n-2l-2,\tag{1} \] so ist für \(n\geqq 20\) jede natürliche Zahl \(\leqq N\) die Summe von höchstens \(2^n+l-2\) Einsen oder \(n\)-ten Potenzen von Primzahlen. Für die Zahlen \(>N\) soll Vinogradoff für große \(n\) dasselbe bewiesen haben, womit für große \(n\) unter der Voraussetzung (1) die kleinste Zahl \(s\), für die zur additiven Zerlegung aller natürlichen Zahlen in Einsen und \(n\)-te Potenzen von Primzahlen höchstens \(s\) Summanden erforderlich sind, gleich \(2^n+l-2\) erkannt wäre. (Vgl. Teil~VI, J. Annamalai Univ. 6 (1937), 171-197; F.~d.~M. 63\(_{\text{II}}\), 907.)