On sums of positive integral \(k^{th}\) powers. (Q2590615)

Für ganzes \(k\geqq 3\) bedeute \(N_s^{(k)}(n)\) die Anzahl der ganzen Zahlen \(\leqq n\), die sich als Summe von \(s\) nichtnegativen \(k\)-ten Potenzen darstellen lassen. Es sei \(a=\frac1k\). Die bei jedem \(\varepsilon>0\) für alle großen \(n\) gültige Hardy-Littlewoodsche Abschätzung \[ N_s^{(k)}(n)>n^{\alpha_1-\varepsilon},\quad \alpha_1=1-(1-2a)(1-a)^{s-2}, \] wird hier zu \[ N_s^{(k)}(n)>n^{\alpha_2-\varepsilon},\quad \alpha_2=1-\frac{1-a}{1-a(1-a)^{s-2}}(1-2a)(1-a)^{s-2}(>\alpha_1), \] und für \(x=3\) sogar zu \[ N_3^{(k)}(n)>n^{\alpha_3-\varepsilon},\quad \alpha_3=a(3-a-2a^2)\;(>\alpha_2), \] verbessert. Zum Beweis dienen Überlegungen über die Lösungszahl der diophantischen Gleichung \[ x_1^k+\cdots+x_s^k=y_1^k+\cdots+y_s^k \] unter Nebenbedingungen von der Gestalt \[ P^{\lambda_i}<x_i<2P^{\lambda_i},\quad P^{\lambda_i}<y_i<2P^{\lambda_i}\qquad (i=1,\dots,s). \]