Einige neuere Untersuchungen über die Dichte in der additiven Zahlentheorie. (Q2590619)

Verf. berichtet über die elementaren Methoden, die sich an die \textit{Schnirelmann}sche Untersuchung über additive Eigenschaften der Zahlen (deutsch in Math. Ann. 109 (1933), 649-690; F.~d.~M. 59\(_{\text{I}}\),198) angeschlossen haben. Nach Definition der grundlegenden Begriffe wie Dichte und Dichte im großen einer Zahlfolge, Summe von Zahlfolgen usw. werden die bisher erreichten Abschätzungen für die Dichte der Summe von Folgen positiver Dichte eingehend besprochen. Es wird weiterhin über die Untersuchungen über ``wesentliche Komponenten'' sowie über Abschätzungen von Basen \(h\)-ter Ordnung berichtet. Ferner werden einige Resultate über die Dichte spezieller Mengen angegeben. -- Alle einfacheren Beweise sind vollständig durchgeführt, die schwierigeren z.~T. angedeutet. Erstmalig publiziert ist vor allem der folgende Satz des Verf: Hat \(\mathfrak A\) die Dichte im großen \(\alpha^*>0\) und \(\mathfrak B\) die Eigenschaft, daß ein \(m_0\) existiert derart, daß sich jedes \(m>m_0\) als Summe von höchstens \(l(m)\) Elementen aus \(\mathfrak B\) darstellen läßt, wo \(l(m)\) der Bedingung \[ \sum_{m=m_0+1}^x l(m)\leqq\lambda^*x\text{ für alle }x>m_0 \] mit einem von \(x\) unabhängigen \(\lambda^*\) genügt, so gilt \[ D^*(\mathfrak A\dotplus\mathfrak B)\geqq\alpha^*+\frac{\alpha^*-\alpha^{*2}}{2\lambda^*} \] (\(D^*\) bedeutet Dichte im großen). Der Beweis dieses Satzes stellt eine Übertragung der Beweismethode von \textit{Erdös-Landau} für den entsprechenden Satz über die Dichte auf die Dichte im Großen dar. Das beigefügte Literaturverzeichnis umfaßt 34 Nummern und berücksichtigt die Arbeiten bis September 1938.