Propriétés additives. I. (Q2590628)

Verf. betrachtet sehr allgemeine Probleme der additiven Zahlentheorie. Die vom Verf. bewiesenen drei Hauptsätze haben einen sehr komplizierten Wortlaut und nur ein Teil des ersten Hauptsatzes soll hier kurz angegeben werden. Zu jedem der betrachteten Probleme gehören Funktionen \(r_\nu(v)\), \(\varrho_\nu(v)\), \(z_\nu\left(\dfrac aq\right)\) (\(v\), \(a\), \(q\) ganz; \((a,q)=1\); \(q>0\); \(\nu=1,2,\dots,n\)) und weiter Zahlen \(g_\nu\) (\(\nu=1,2,\dots,n\)) und eine Matrix \(b_{\mu\nu}\) (\(\mu=1,2,\dots,m\); \(\nu=1,2,\dots,n\)), wo \(n>m>0\) und die \(b_{\mu\nu}\) ganz sind. Es wird die Determinante \(|b_{\mu\nu}|\neq 0\) (\(\mu,\nu=1,2,\dots,m\)) vorausgesetzt. Die Funktionen \(r_\nu(v)\), \(\varrho_\nu (v)\), \(z_\nu\left(\dfrac aq\right)\) sollen gewissen Bedingungen genügen, von denen die wichtigste lautet, daß für reelles \(\alpha\) \[ \sum_{v=-\infty}^{+\infty}e^{2\pi i\alpha v}r_\nu(v)\quad\text{durch}\quad z_\nu\left(\dfrac aq\right)\sum_{v=-\infty}^{+\infty}e^{2\pi i\left(\alpha\frac aq\right)v}\varrho(v) \] approximiert werden kann \(\biggl(\)falls \(\dfrac aq\) ein ``in der Nähe'' von \(\alpha\) liegender Bruch ist\(\biggr)\). Es sei \[ L(t)=\varSigma_1\prod_{\nu=1}^n r_\nu(v_\nu),\quad \varLambda(t)=\varSigma_1\prod_{\nu=1}^n\varrho_\nu(v_\nu), \] wo die \(v_\nu\) (\(\nu=1,2,\dots,n\)) diejenigen ganzen Zahlen durchlaufen, für die \[ \sum_{\nu=1}^n b_{\mu\nu}v_\nu=t_\mu\qquad (\mu=1,2,\dots,m) \] ist, falls \(t_1,t_2,\dots,t_m\) gegebene ganze Zahlen sind. Der Satz behauptet nun, daß \(L(t)\) durch einen Ausdruck \[ b\varLambda(t)\sum_\gamma e^{-2\pi i\sum\limits_{\mu=1}^m\gamma_\mu t_\mu} \eta(\gamma) \] approximiert werden kann. Hier ist \(\dfrac1b\) die Anzahl der Punkte \(\tau= (\tau_1,\tau_2,\dots,\tau_m)\), für die \(0\leqq\tau_\mu<1\) (\(\mu=1,2,\dots,n\)) und \(\sum\limits_{\mu=1}^m b_{\mu\nu}\tau_\mu\) (\(\nu=1,2,\dots,n\)) ganz ist. Die \(\gamma_\mu\) durchlaufen ein gewisses endliches System von rationalen Brüchen, und es ist \[ \eta(\gamma)=\prod_{\nu=1}^n z_\nu\left(\sum_{\mu=1}^m b_{\mu\nu}\gamma_\mu\right). \] Es kann z.~B. \(r_\nu(v)\) die Anzahl der Darstellungen von \(v\) in der Gestalt \[ v=\psi_\nu(y_{\nu1},\dots,y_{\nu,s_\nu}) \] sein (wo \(\psi_\nu\) für jedes \(\nu=1,2,\dots,m\) ein Polynom ist, das für ganzzahlige Werte der Veränderlichen ganzzahlige Werte annimmt) mit ganzen \(y_{\nu1},\dots,y_{\nu,s_\nu}\), wo den \(y\) auch noch gewisse Kongruenzbedingungen auferlegt werden können, und wo sie noch in einem bestimmten Gebiet gewählt werden können. Alsdann ist \(L(t)\) die Anzahl der Darstellungen von gegebenen ganzen Zahlen \(t_\mu\) (\(\mu=1,2,\dots,m\)) in der Gestalt \[ \sum_{\nu=1}^n b_{\mu\nu}\psi_\nu(y_{\nu1},\dots,y_{\nu,s_\nu})=t_\mu \qquad (\mu=1,2,\dots,m), \tag{1} \] und der Hauptsatz liefert dann also eine Approximation für diese Anzahl. Der zweite und dritte Hauptsatz des Verf. befassen sich mit dem Fall, daß den ganzzahligen Veränderlichen \(y\) in (1) oder gewissen unter ihnen, noch die weitere Bedingung auferlegt wird, Primzahlen zu sein.