Über die Primzahlen der arithmetischen Progression. II. (Q2590644)

Verf. beweist: Falls von den Dirichletschen \(L\)-Funktionen \(L(s,\chi)=\sum\limits_{n=1}^\infty\chi(n)n^{-s}\) (\(s=\sigma+it\)) keine in dem Gebiet \[ 1-\delta<\sigma\leqq 2,\qquad|t|\leqq\alpha \] (wo \(0<\delta\leqq\frac12\), \(\alpha>0\)) verschwindet, so gilt für die kleinste Primzahl \(P(k,l)\) der arithmetischen Progression \(kx+l\) (\(k\), \(l\) ganz \({}>0\), \((k,l)=1\); \(x=0,1,2,\dots\)) eine Ungleichung \[ P(k,l)<c_3\varphi(k)^{c_4}, \] wo \(c_3\) eine absolute Konstante bedeutet und \(c_4\) nur von \(\alpha\) und \(\delta\) abhängt, jedoch mit \(c_4>\frac1\delta\). Falls \(\delta=\dfrac12\), \(\alpha=5\) ist, kann z.~B. \(c_4=8\) genommen werden. Es hängen also die ``kleinen'' Primzahlen der arithmetischen Progression nur von den ``kleinen'' Wurzeln der \(L\)-Funktionen ab. Teil~I, Acta Litt. Sci. Univ., Szeged, Sect. Sci. math. 8 (1937), 226-235; F.~d.~M. 63\(_{\text{I}}\), 138.