On the Gaussian law of errors in the theory of additive functions. (Q2590651)

Eine zahlentheoretische Funktion \(f(m)\) heiße additiv, wenn \[ f(m_1m_2)=f(m_1)+f(m_2), \] falls \((m_1,m_2)=1\). Es sei weiter \[ f(p^\alpha)=f(p),\;|f(p)|\leqq 1, \] für jede Primzahl \(p\). Die Verf. behaupten (ohne Beweis) die Gültigkeit des folgenden Satzes : Es sei (\(p\) durchläuft Primzahlen) \[ F(n)=\sum_{p<n}\frac{f^2(p)}p \] divergent. Dann ist die Dichte der ganzen Zahlen, für die \[ f(m)<\sum_{p<m}\frac{f(p)}p+\omega\sqrt{2F(m)} \] ist, gleich \[ \pi^{-\frac12}\int_{-\infty}^\omega e^{-y^2}\,dy \] für jedes reelle \(\omega\).