On a Hardy-Littlewood problem of diophantine approximation. (Q2590669)

Es wird das asymptotische Verhalten der Summe \[ R_r(\xi,m) =\sum\limits_{\nu=0}^m P_r\bigg(\dfrac{\xi+\nu\omega_2}{\omega_1} \bigg),\qquad\text{wo}\quad P_r(x) =-\sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{2\cos(2n\pi x - \tfrac12r\pi)}{(2n\pi)^r}, \] für \(m\to\infty\) untersucht. Dabei soll \(\dfrac{\omega_2}{\omega_1}\) irrational, \(0\leqq\xi<\omega_1\) sein. Bisher ist nur der Fall behandelt worden, daß \(r\) ganzzahlig, insbesondere gleich 1 ist; es ist \(P_1(x) = x - [x]- \frac12\). Eine Irrationalzahl \(\vartheta\) heißt vom Typus \(Ihc\), wenn die Ungleichung \[ \bigg|\vartheta-\dfrac{p}q\bigg|<\dfrac1{\gamma|q|^{h+1}} \] für \(\gamma < c\) durch unendlich viele Paare ganzer Zahlen \(p\), \(q\) erfüllt wird, für \(\gamma > c\) aber nicht. Mit dieser Terminologie wird gezeigt: Wenn \(\dfrac{\omega_1}{\omega_2}\) vom Typus \(Ihc\) ist, so ist \[ R_r(\xi, m) = \begin{cases} O\bigg(m^{1-\frac{r}{h}}\bigg)& \text{für}\;1\leqq r < h,\\ O(\log m) &\text{''}\quad r=h=1,\\ O(\log\log m) &\text{''}\quad r=h>1,\\ O(1) &\text{''}\quad r>h\geqq 1.\\ \end{cases} \] Außerdem ist für unendlich viele \(m\) \[ R_r(\xi,m)>Km^{1-\frac{r}h}. \] Zum Beweis sind zahlreiche Hilfssätze erforderlich. Auch der Fall \(h = \infty\) mit entsprechender Typenteilung wird behandelt.