Une inégalité relative aux sommes de Weyl. (Q2590673)

Es sind \(P\) und \(X \geqq 2\) ganze Zahlen, \[ f(y) = \dfrac{\alpha}{n!}y^n + \alpha_1y^{n-1} +\ldots + \alpha_n \] ein Polynom mit reellen Koeffizienten und \[ S=X^{-1} \sum\limits_{y=P+1}^{P+X} e^{2\pi if(y)}. \] Ferner sei \(n > 1\), und mit \(\tau\geqq1\) sei \(\dfrac{a}q\) ein gekürzter Bruch mit positivem Nenner, für den \(\bigg|\alpha-\dfrac{a}q\bigg|\leqq\dfrac{\tau}{q^2}\) gelte. Bekanntlich entspricht dann jedem positiven \(\varepsilon\) eine Zahl \(c_1\), die nur von \(\varepsilon\) und \(n\) abhängt, so daß \[ |S|^{2^{n-1}}<c_1X^\varepsilon\bigg(\tau+\dfrac{q\log q}{X}\bigg) \bigg(\dfrac1q+\dfrac1{X^{n-1}}\bigg) \] gilt. \textit{Vinogradoff} (Acad. Sci. URSS., Fil. Géorgienne, Trav. Inst. math., Tbilissi, 3 (1938), 1-67; JFM 64.0129.*) hat diese Ungleichung durch eine andere, für Anwendungen günstigere, ersetzt, die den Faktor \(X^\varepsilon\) nicht enthält, aber seine Formel enthält die obige nicht. Hier wird nun eine Ungleichung abgeleitet, die gleichzeitig die genannte und die Vinogradoffsche Formel umfaßt: Jedem positiven \(\varepsilon\leqq\frac12\) entspricht ein \(c_2\), das nur von \(\varepsilon\) und \(n\) abhängt, daß \[ |S|^{2^{n-1}}<c_2x^\sigma\bigg(\tau+\dfrac{q}{X}\bigg)^{1-\varepsilon} \bigg(\dfrac1q+\dfrac1{X^{n-1}}\bigg) \] gilt; darin bedeuten \(x = \log X\) und \(\sigma = \dfrac{(n-1)^l-1}l\), wobei mit \(l\) die kleinste ganze Zahl \(\geqq\dfrac1\varepsilon\) bezeichnet wird.