Ein Übertragungsprinzip für konvexe Körper. (Q2590688)

Es sei \(K\) ein abgeschlossener konvexer Körper im \(n\)-dimensionalen Raume, mit Mittelpunkt im Ursprung \(o\); sein Inhalt sei \(J\). Es seien \(\sigma_1, \sigma_2,\ldots, \sigma_n\) die sukzessiven Minkowskischen Minima. Das bedeutet: Es sei \(\sigma_1\) die kleinste positive Zahl, für welche der Körper \(\sigma_1K\) einen Gitterpunkt \(x_1\neq o\) enthält; es sei \(\sigma_2\) die kleinste positive Zahl, für welche der Körper \(\sigma_2K\) einen Gitterpunkt \(x_2\) enthält, der nicht mit \(o\), \(x_1\) auf einer Geraden liegt; es sei \(\sigma_3\) die kleinste positive Zahl, für welche \(\sigma_3K\) einen Gitterpunkt \(x_3\) enthält, der nicht mit \(o\), \(x_1\), \(x_2\) in einer zweidimensionalen Ebene liegt usw. Nach \textit{Minkowski} (Geometrie der Zahlen (1910); F. d. M. 41, 239 (JFM 41.0239.*); vgl. auch die vorstehend besprochene Arbeit von \textit{H. Davenport}) ist \[ \dfrac{2^n}{n!}\leqq J\sigma_1\sigma_2\cdots\sigma_n\leqq 2^n,\qquad 0<\sigma_1\leqq\sigma_2\leqq\cdots\leqq\sigma_n. \tag{1} \] Es sei \(K'\) der zu \(K\) polare Körper, d. h. derjenige konvexe Körper, dessen Randpunkte Pole der Stützhyperebenen von \(K\), sind (in bezug auf die Einheitskugel). Der Inhalt von \(K'\) sei \(J'\), die zugehörigen Minima seien \(\sigma_1', \sigma_2',\ldots, \sigma_n'\). Der Hauptsatz dieser Arbeit lautet: \[ \dfrac{4^n}{(n!)^2}\leqq JJ'\leqq 4^n, \quad 1\leqq\sigma_h\sigma_{n-h+1}'\leqq (n!)^2\quad (h = 1, 2,\ldots,n). \tag{2} \] Von den Anwendungen dieses Hauptsatzes heben wir zwei besonders wichtige hervor. 1. Aus (1), (2) erhält man \[ \dfrac12\root n\of{J'}\sigma_1'\leqq (n!)^{\tfrac{2}{n(n-1)}} \biggl(\dfrac12\root n\of J \sigma _1\biggr)^{\tfrac{1}{n-1}}. \] Diese Formel enthält den Khintchineschen Übertragungssatz und allgemeiner den ersten Satz der auf S. 177 besprochenen Arbeit. II. Es kann bewiesen werden, daß jeder Körper, der aus \(\tfrac12n\sigma_nK\) durch eine beliebige Translation entsteht, mindestens einen Gitterpunkt enthält (auf diese Tatsache hat Verf., Proc. Akad. Wet. Amsterdam 41 (1938), 634-637; JFM 64.0147.* hingewiesen; ein Beweis -- und zwar mit der scharfen Konstante \(\tfrac12 n \sigma_n\), die bei Verf. nicht vorkommt -- findet sich aber implizite bereits bei Minkowski, Geometrie der Zahlen; vgl. dazu die nachstehend referierte Arbeit). Durch diesen Satz wird das ``inhomogene'' Problem für \(K\) mit der Zahl \(\sigma_n\), nach (2) also mit \(\sigma _1'\), d. h. mit dem ``homogenen'' Problem für den polaren Körper \(K'\), verknüpft.