A note on transcendental numbers. (Q2590700)

Aus der Transzendenz von \(\pi\) wird durch einfache Umrechnung gefolgert: Sei \(f(z) =P(z)/Q(z)\) eine rationale Funktion mit algebraischen Koeffizienten, \(P(z)\) ein Polynom vom Grade \(p\) und \(Q(z)\) ein solches vom Grade \(\geqq p + 2\); \(Q(z)\) verschwinde an rationalen, nicht ganzen Stellen. Verschwindet nun die Summe \(\sum\limits_{n=-\infty}^\infty f(n)\) nicht, so ist sie transzendent. -- Unter Verwendung des Lindemannschen Satzes über die Exponentialfunktion wird dann das Resultat abgeleitet: Seien unendlich viele der Zahlen \(a_n (n = 0,1,2,\ldots)\) ungleich Null und \(\limsup\limits_{n\to \infty} |a_n|^{\tfrac1n}\leqq \varrho\). Mindestens zwei der Zahlen \(c_n(n = 0, 1, 2,\ldots)\) verschwinden nicht, und die Funktion \(g (t) = \sum\limits_{n=0}^\infty c_nt^n\) sei analytisch für \(|t|<R\) mit \(R>\varrho\) und verschwinde für \(|t|\leqq \varrho\) nur an den algebraischen Stellen \(\zeta_k (k = 1, 2,\ldots, N)\). Ist nun \(\sum\limits_{n=0}^\infty c_na_{n+p} = 0\) für alle \(p = 0, 1, 2,\ldots\), dann sind die Funktionswerte von \[ F(z)=\sum_{n=0}^\infty\dfrac{a_nz^n}{n!} \] für alle algebraischen \(z\neq 0\) transzendent. Zum Schluß werden ohne Beweis noch einige Zusätze angegeben.