Sur les ensembles mesurables \(B\) dans l'espace transfini. (Q2590735)

Es sei \(\varOmega_i\) die erste transfinite Ordnungszahl, der \(\aleph_i\) Ordnungszahlen vorangehen. Mit Ordnungszahlen \(x_\alpha (1 \leqq x_\alpha < \varOmega_i)\) wird eine Folge \[ x = [x_1, x_2,\ldots, x_\alpha,\ldots]\quad (1\leqq\alpha <\varOmega_i) \] gebildet und Punkt des transfiniten Raumes \(I_x^{(i)}\) der Ordnung \(i\) genannt; \(m\)-dimensionaler Raum \(I_X^{(i)}\) ist die Menge aller Systeme \(X = [x^{(1)},x^{(2)},\ldots, x^{(m)}]\), wo jedes \(x^{(\nu)}\) ein beliebiges Element von \(I_x^{(i)}\) sein kann. Weiter werden Punkte solcher Räume zu Punktmengen zusammengefaßt. Ist eine Folge \(E_1, E_2,\ldots, E_\alpha,\ldots \;\;(\alpha<\varOmega_i)\) solcher Mengen gegeben, so ist ihr Grenzwert \(E = \lim\limits_{\alpha \to \varOmega_i}E_\alpha\) die Menge aller Punkte \(X\) mit der Eigenschaft, daß es zu jedem \(X\) ein \(\alpha_0 = \alpha_0(X)\) gibt, so daß \(X\) allen \(E_\alpha\) mit \(\alpha \geqq \alpha_0\) angehört. Es werden ferner die Begriffe Häufungspunkt (point limite), abgeschlossene Menge, Ableitung einer Menge und Klasse (entsprechend dem Baireschen Klassenbegriff) eingeführt, und es werden Sätze aufgestellt, die den Sätzen von Cantor und Baire in der Theorie der gewöhnlichen Punktmengen entsprechen. Das Hauptziel ist, nachzuweisen, daß es für jedes \(\alpha < \varOmega_{i+1}\) Mengen der Klasse \(\alpha\) wirklich gibt.