On a theorem in the geometry of numbers and a property of mass distributions in \(n\)-dimensional space. (Q2590757)

Im \(n\)-dimensionalen Raume \(R_n\) sei eine vollständig additive nichtnegative Mengenfunktion \(\sigma(E)\) gegeben, die für alle beschränkten Borelschen Mengen \(E\) definiert und endlich ist. Die Zahl \[ \limsup\limits_{_{\substack{ a\;\text{beliebig}\\ N\to\infty}}} \dfrac{\sigma(W_{N,a})}{(2N)^n}=\varLambda_\sigma \] (wo \(W_{N, a}\) den achsenparallelen Würfel mit dem Mittelpunkt \(a\) und der Kante \(2N\) bedeutet) heiße die obere Dichte der Mengenfunktion \(\sigma\). -- Hauptsatz: Ist \(E\) eine beliebige Menge mit endlichem inneren Lebesgueschen Maß \(m_i(E)\) und ist \(\varLambda_\sigma > \lambda\), so gibt es eine Punktmenge \(F\subset E\), so daß aus \(F\) durch eine geeignete Translation eine Menge \(F_1\) mit \(\sigma(F_1)\geqq \lambda m_i(E)\) entsteht. In diesem Satz ist ein bei \textit{W. Fenchel} (Acta arith. Warszawa, 2 (1937), 230-241; JFM 63.0898.*) veröffentlichter Satz von \textit{B. Jessen} als Spezialfall enthalten.