Random sampling in the evaluation of a Lebesgue integral. (Q2590772)

Es sei \(f(x)\) summierbar im Intervall \(\langle 0,1\rangle\) und \(k\) eine natürliche feste Zahl. Das Intervall wird in \(n\) gleiche Teile zerlegt, jedes der Teilintervalle in \(k\) gleiche Unterintervalle zerlegt. In dem \(p\)-ten Intervall (\(p=1,\ldots,n\)) der ersten Art wird nach Belieben ein Teilintervall \(i_p\) der zweiten Art ausgewählt. Ist \(m(n, p, i_p)\) der mit dem Integral gebildete Mittelwert von \(f(x)\) in \(i_p\), so ist \[ \lim\limits_{n\to\infty}\sum\limits_{p=1}^n \dfrac1n m(n, p, i_p) =\int\limits_0^1 f(x) dx; \] es spielt also keine Rolle, wie die Intervalle der zweiten Art ausgewählt werden. Das Ergebnis wird mehrfach erweitert. Durch ein Beispiel wird belegt, daß der Satz nicht immer gilt, wenn \(k\) mit \(n\) unbegrenzt wachsen darf.