The behavior of a function on its critical set. (Q2590787)

Hauptergebnis ist: Ist \(n\geqq 1, R\) eine offene Teilmenge des \(E_n\) und \(f\) eine auf \(R\) erklärte reelle Funktion von der Klasse \(C^n\) (d. h. mit stetigen partiellen Ableitungen bis zur \(n\)-ten Ordnung), so bildet \(f\) ihre kritischen Stellen auf eine Nullmenge ab (\textit{H. Whitney} hatte schon früher (Duke math. J. 1 (1935), 514-517; JFM 61.1117.*) gezeigt, daß der Satz mit \(C^{n-1}\) statt \(C^n\) falsch ist). Als unmittelbare Folgerung ergibt sich, daß eine reelle auf einer offenen Menge im \(E_n\) erklärte Funktion von der Klasse \(C^n\) auf jeder zusammenhängenden Menge kritischer Stellen konstant ist. Dies wird abgeleitet aus dem allgemeinen Satz: Ist \(m\geqq 1, n \geqq 1\), \(R\) offen, \(R \subset E_n, B \subset R\), so gibt es Mengen \(B_0, B_1, B_2,\ldots\) und Abbildungen \(\varPhi_1, \varPhi_2\ldots\) mit folgenden Eigenschaften: \(B = B_0 + B_1 + B_2+ \cdots, B_0\) ist abzählbar, \(B_\nu\) für \(\nu = 1, 2,\ldots\) beschränkt und kondensiert, \(\varPhi_\nu\) von der Klasse \(C^1\) auf einer Sphäre \(S \subset E_k, k \leqq n\), erklärt mit \(\|\varPhi_\nu(x)-\varPhi_\nu(y)\|\geq \|x-y\|\) und \(B_\nu \subset \varPhi _\nu(S)\subset R\). Ist \(f\) eine auf \(R\) erklärte reelle Funktion von der Klasse \(C^m\), und ist jeder Punkt von \(B\) kritischer Punkt von \(f\) und \(\varPhi _\nu (x') \in B_\nu\), so gilt \[ \lim_{x\to x'}\dfrac{ f(\varPhi_\nu(x))-f(\varPhi _\nu(x'))}{\|x-x'\|^m}=0. \]