Notes sur les fonctions convexes d'ordre supérieur VI. (Q2590814)

Die Arbeit ist eine Fortsetzung früherer (Mathematica, Cluj, 8 (1934), 1-85; 12 (1936), 81-92, 227-233; JFM 60.0196.*-198; 62\(_{\text{I}}\); 239, 240), auf deren Besprechung bezüglich der Definitionen von konkav, nicht-konvex usw. verwiesen werden muß. \textit{Bezeichnungen}: Als \textit{Ausschnitt} (As) \((c \,\mathfrak f\,d)\) einer Punktmenge \(\mathfrak f\) auf der \(x\)-Achse bezeichne man den Durchschnitt von \(\mathfrak f\) mit \(I\), wobei \(I\equiv [c, d]\) das Intervall \(c \leqq x \leqq d.\) Die As \((c\, \mathfrak f \,d)\) und \((c_1\, \mathfrak f\, d_1)\) heißen \textit{getrennt durch} \(\mathfrak f\), kurz g. d. \(\mathfrak f\), wenn \(d < c_1\) und wenn es ein \(x'\in \mathfrak f\) gibt mit \(d < x' < c_1\). Drei oder mehrere As heißen g. d. \(\mathfrak f\), wenn sie paarweise g. d. \(\mathfrak f\) sind. Die Menge \(\mathfrak f\) wird im folgenden stets als kompakt angenommen (\(\mathfrak f\) darf auch endlich sein); ihr unterster bzw. oberster Punkt sei \(e_u\) bzw. \(e_0\). Mit \(\mathfrak M(\mathfrak f; f)\) bzw. \(\mathfrak m (\mathfrak f; f)\) bezeichne man die Menge aller \(x \in \mathfrak f\), in welchen \(f(x)\) auf \(\mathfrak f\) den Maximal-bzw. Minimalwert annimmt. Es sei \(k=\dfrac{n+1}{2}\) bzw. \(=\dfrac{n}{2}\) für \(n\equiv 1\) bzw. für \(n\equiv 0\) (mod 2). Unter der Eigenschaft \(A\) bzw. \(B\) bzw. \(C\) einer Teilmenge \(\mathfrak T\) von \(\mathfrak f\) verstehe man: \(A\). Wenn \(\mathfrak T\) als Summe von mindestens \(n - k + 1\) As g. d. \(\mathfrak f\) dargestellt ist, dann gilt: \(e_u \in \mathfrak T\) oder \(e_0 \in \mathfrak T\) für \(n \equiv 1\); und \(e_0\in \mathfrak T\) für \(n\equiv 0\). -- \(B\). Wenn für \(n\equiv 0\) die \(\mathfrak T\) als Summe von mindestens \((k + 1)\) As g. d. \(\mathfrak f\) dargestellt ist, dann gilt \(e_u \in \mathfrak T\). -- \(C\). Für \(n \equiv 1\) ist \(\mathfrak T\) darstellbar als Summe von höchstens \(k\) As g. d. \(\mathfrak f\). Die wichtigsten \textit{Ergebnisse} lauten: I. Es sei \(f\) stetig auf \(\mathfrak f\). Dann ist \(f\) auf \(\mathfrak f\) nichtkonkav von der Ordnung \(n\) bzw. \(n\equiv 0\) bzw. \(n\equiv 1\) (mod 2) je nachdem für jedes Polynom \(P\) vom Grade \(n\) und für jeden As \(\mathfrak f_1\) die \(\mathfrak M(\mathfrak f_1; f-P)\) bzw. \(\mathfrak m (\mathfrak f_1; f - P)\) bzw. \(m(\mathfrak f; f - P)\) die Eigenschaft \(A\) bzw. \(B\) bzw. \(C\) besitzt. -- II. Es sei \(f\) stetig in \([a, b]\) ferner sei \([c,d]\) ein beliebiges Teilintervall von \([a, b]\), schließlich sei \(T_\nu\) das zu \(f\) in \([c, d]\) gehörige Tschebycheffpolynom vom Grade \(\nu\). Ist dann \(T_{n+1}\) effektiv vom Grade \(n\), d. h. verschieden von \(T_n\) für jedes \([c, d]\), so ist \(f\) konvex oder konkav von der Ordnung \(n\) in \([a, b]\). Ist dagegen \(|f(c) - T_n(c)| =|f(d) - T_n(d)| =\underset{[c, d]}{\max}|f- T_n|\), so ist \(f\) von der Ordnung \(n\) in \([a, b]\).